こっちに書くべきだった　数学の問題

中学生から聞かれた行列の問題。A^3=0の時、E + A + A^2/2が逆行列を持つことを証明せよ。

det(E + A + A^2/2) = det(E) + det(A) + det(A^2)/2が0でないことを示せば良い。
A^3= 0より　A(A^2) =(A^2)A = 0でA not= 0よりA^2=0

A^2=0の時、Aが逆行列を持つとすると、A-1・A =A-1・0よりA=0となるので、A-1は存在しないことから、det(A)=0
det(A^2) = det(A)^2=0
よって、det(E) + det(A) + det(A^2)/2 = det(E) + 0 + 0/2

det(E) = 1より、逆行列は存在する。