No cloning theorem in quantum mechanics

量子力学では、任意の状態$${|\psi\rangle}$$に対し以下のような「コピー」：

$$
\begin{aligned}
C|\psi\rangle|0\rangle=|\psi\rangle|\psi\rangle\tag{1}
\end{aligned}
$$

を行う操作は存在しないことが示せます。

証明は以下のようにできます。$${|a\rangle,|b\rangle}$$は線形独立な状態とします。これらに対してEq.(1)のコピーを行えば

$$
\begin{aligned}
C|a\rangle|0\rangle&=|a\rangle|a\rangle\\
C|b\rangle|0\rangle&=|b\rangle|b\rangle
\end{aligned}
$$

となるので、$${|a\rangle,|b\rangle}$$を重ね合わせた$${c_a|a\rangle+c_b|b\rangle}$$に対してコピーを行えば

$$
\begin{aligned}
C(c_a|a\rangle+c_b|b\rangle)|0\rangle=c_a|a\rangle|a\rangle+c_b|b\rangle|b\rangle\tag{2}
\end{aligned}
$$

になります（$${C}$$の各状態への作用の分配則は前提とする）。一方でEq.(1)において$${|\psi\rangle=(c_a|a\rangle+c_b|b\rangle)}$$とすれば

$$
\begin{aligned}
C(c_a|a\rangle+c_b|b\rangle)|0\rangle=(c_a|a\rangle+c_b|b\rangle)(c_a|a\rangle+c_b|b\rangle)\tag{3}
\end{aligned}
$$

になるはずです。しかしEq.(2)と(3)は$${c_a,c_b}$$がノンゼロならば一致しないので矛盾です。

Eq.(1)の定義から、コピーした状態は$${|\psi\rangle|\psi\rangle}$$のように必ず直積で書けるはずです。しかし一方で任意の状態をコピーできるとすると（及び$${C}$$の作用の分配則）、$${C}$$はEq.(2)のように直積で書けない状態も生み出してしまいます。このような事情があるため、量子力学では任意の状態に対するEq.(1)のようなコピー行為ができません。

おしまい。$${{}_\blacksquare}$$