Piece CHECK(2024-40) 2024年良問BEST15 確率と定積分
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【最新巻】計算練習帳『計算0.9』販売開始！！
こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は2024年良問BESTシリーズの第15位の問題です。
名古屋大学(理系)から、確率と定積分の関わりを垣間見ることが出来る問題です。
思考時間は約20分、目標解答時間はそこから約25分です。
解説・原則など
詳しくはこちらもご覧ください。
(1)は余事象で計算するだけです。
(2)が今回の最難問です。自然数絡みですので、帰納法で示せることには気づきたい。
また、右辺の積分の形が、部分積分によって漸化式が作れるパターンなのでは？と思えれば、帰納法と相性がいいことも分かります。
定積分の漸化式は部分積分で攻める
あとは、f(k+1)＝f(k)－(丁度ｋ回出る確率)であることに気を付ければ、ｋからｋ＋１の場合が示せます。部分積分の一部の項が、丁度ｋ回出る確率に対応します。
(3)は、(2)が証明できなくても、正しいことは文から分かるので、(2)を使って答えてしまう、という手もあります。(点数は(2)の方が大きいでしょうが)
まずじっと見比べて、p→1/2、k→k+1、ｎ→2k+1とすれば、積分のところはキレイに当てはまります。
次に(2)でのf(k+1)の意味を考えると、ちょうど半分の1/2にあります。(表と裏の回数を考えれば明らか)になります。これらを合わせると、簡単にIの値が出せるということです。
あるいはベータ関数の問題をマスターして知っていれば、被積分関数がx=1/2に関して対称であることから、0~1までの積分の半分となります。それを利用し、ベータ関数を実際に自分で求めるという方法ですね。
超有名題材であるベータ関数ぐらいは、イチから自分で出せるぐらいになっておくと多少有利であることが、本問を見ても分かりますね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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