PieceCHECK(2023-70) 2006年一橋大 2変数関数の最小値
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今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は、2006年の一橋大から、2変数関数の最小値に関する問題です。
思考時間は約10分弱、目標解答時間はそこから約10分です。(誘導ありなら)
解説・原則など
受験生が苦手な2変数関数に関する問題ですが、(1)のおかげでかなり難易度が下がっています。実質、(1)がきちんと解答出来るかどうかの問題です。
(1)の解き方はいろいろありますが、定数$${k}$$が入っているのが$${kx}$$という1次式だけなので、定数分離して視覚化の原則が使えます。
文字定数入りの方程式・不等式は定数分離で視覚化
原点を通るような接線を求めることに帰着されます。接線を求めるときには、先に接点をおきましょう。
曲線外から引いた接線はまず接点をおく
他にもいろいろな解法があります。$${x\geqq 0}$$という制限付きの不等式成立条件ですから、最小値が0以上と言い換えられます。
制限あり不等式成立条件 → 最大・最小の問題に帰着
少しテクニカルですが、相加平均・相乗平均の関係を使うことも出来ます。
(2)は(1)が出来れば$${4x^3+1, 4y^3+1}$$に(1)を利用するだけです。キレイに約分されて、一気に答えが出ますね。
模試(1)がない場合、(1)を思いつくのは困難です。その場合は、2変数関数なので1文字固定の原則に従うことになります。
２文字が動く → １文字固定(予選決勝法)で
それでもやはり難易度は高く、今回は$${x+y=u}$$と固定することで分母が固定されます。その際に、$${x^3+y^3}$$が最小になるタイミングを求め、さらに$${u}$$を動かすという方法であれば数Ⅱまでの範囲で解けます。(もちろん数Ⅲの微分でもOK)
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
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Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。
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解答
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