2023. 3. 22　今日の自作問題

300～400 点くらい？

こんばんは！pomodor_ap です. 今日の自作問題はこちらになります. 

300 点～400 点くらいの幾何です. 

（以下，ヒント・解答です.）

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ヒント

共円を見つけましょう. 

解説

$${\angle BEC = \angle BDC = \angle QPB = 90^{\circ}}$$ より，$${4}$$ 点 $${B, E, D, C}$$ と $${Q, P, D, C}$$ はそれぞれ同一円周上にあります. よって，以下のように角度計算ができます. 
$${\angle PCQ = \angle PDQ = \angle ECB}$$
よって，$${BC}$$ は $${\angle QCH}$$ を二等分します. したがって，$${QC=5x, HC=3x}$$ と表せます. ここで，三平方の定理から $${QC^2-HC^2=QD^2-HD^2=12^2-4^2=128}$$ なので，$${16x^2=128}$$. よって $${x^2=8}$$ です. 
したがって，$${BC^2-HC^2=BD^2-HD^2=49-16=33}$$ より，$${BC^2=9x^2+33=\textbf{105}}$$ がわかります.

解答 : $${105}$$

ありがとうございました！感想を教えてくれるととても喜びます.