2023 . 3 . 23 今日の自作問題

こんばんは. pomodor_ap です. 今日の自作問題はこちらです. 

難易度は 400 点くらいを想定しています. 

$${AB:BC=1:2}$$ を満たす三角形 $${ABC}$$について，内心を $${I}$$ とすると，$${AI=14, IB^2+IC^2=1468}$$ が成立しました. このとき，$${AB}$$ の長さの二乗を求めてください.

（以下ヒント・解答です. ご注意ください）

ヒント

中線定理を使います. 

解説

$${BC}$$ の中点を $${M}$$ とすると，$${AB=BM}$$ より $${AI=IM}$$ となります. ここで，中線定理より $${IB^2+IC^2=2(BM^2+IM^2)=2(AB^2+AI^2)}$$ なので，$${AB^2=734-196=\textbf{538}}$$ です. 

解答 : $${538}$$