累乗と余り

（１）$${201^{20}}$$の十億の位の数を求めよ。
（２）$${201^{20}}$$を$${4×10^7}$$で割ったときの余りを求めよ。
                              （群馬大・医学部）

【解答】
（１）「十億」すなわち、$${10^9}$$である。また、$${200=2×10^2}$$なので、$${5}$$乗してみると、

$$
200^5=2^5×10^{10}・・・①
$$

これは、$${10}$$億以下の桁に$${0}$$のみが並ぶ数である。次に、$${201=1+200}$$の$${20}$$乗を二項展開すると、

$$
201^{20}=(1+200)^{20}=\sum_{n=0}^{20}{}_{20}C_{n}200^n\\=1+20×200+\frac{20×19}{2×1}×200^2+\frac{20×19×18}{3×2×1}×200^3\\+\frac{20×19×18×17}{4×3×2×1}×200^4+\sum_{n=5}^{20}{}_{20}C_{n}200^n\\=1+4000+7600000+9120000000+7752000000000\\+\sum_{n=5}^{20}{}_{20}C_{n}200^n\\=7761127604001+\sum_{n=5}^{20}{}_{20}C_{n}200^n
$$

ここで、①より、$${{}_{20}C_{n}200^n~(n\geqq5)}$$は、$${10}$$億の桁以下はすべて$${0}$$である。よって、[答]:$${\underline{1}}$$

（２）

$$
201^{20}=(1+200)^{20}=\sum_{n=0}^{20}{}_{20}C_{n}200^n\\=1+4000+7600000+9120000000+\sum_{n=4}^{20}{}_{20}C_{n}200^n
$$

ここで、$${_{20}C_{n}200^n~(n\geqq4)}$$は以下により$${4×10^7}$$で割り切れる。

$$
_{20}C_{4}200^4=_{20}C_{4}2^4×10^8\\{} _{20}C_{5}200^5=_{20}C_{5}2^5×10^{10}\\…
$$

よって、

$$
1+4000+7600000+9120000000=(4×10^7)×228+7604001
$$

より、[答]:$${\underline{7604001}}$$

【コメント】
二項展開（二項定理）は、超頻出。使いこなせるようになろう。