角が求まらない場合の対処

平面上の点$${P(x,y)}$$が単位円周上を動くとき、$${15x^2+10xy-9y^2}$$の最大値と、最大値を与える点$${P}$$の座標を求めよ。
                              （学習院大）

【解答】

$$
x=\cos\theta,~y=\sin\theta~(0\leqq\theta\lt2\pi)
$$

とすると、

$$
15x^2+10xy-9y^2\\=15\cos^2\theta+10\sin\theta\cos\theta-9\sin^2\theta\\=\frac{15}{2}(\cos2\theta+1)+5\sin2\theta-\frac{9}{2}(1-\cos2\theta)\\=5\sin2\theta+12\cos2\theta+3\\=13\{(\sin2\theta)･\frac{5}{13}+\frac{12}{13}･(\cos2\theta)\}+3
$$

ここで、加法定理により合成すると

$$
\cos\alpha=\frac{5}{13},~\sin\alpha=\frac{12}{13}
$$

となるような角$${\alpha~(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2})}$$によって、

$$
15x^2+10xy-9y^2\\=13\sin(2\theta+\alpha)+3
$$

と表せる。最大値は$${16}$$であり、それは、$${\sin(2\theta+\alpha)=1,~(\alpha\leqq2\theta+\alpha\lt4\pi+\alpha)}$$のときすなわち、$${2\theta+\alpha=\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}}$$を解いて、$${\theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2},\frac{5\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}$$のときである。

(i)$${\theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}$$のとき

$$
x\\=\cos\theta\\=\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2}\\=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\frac{1}{2}(\cos\alpha+1)}+\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)}\\=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{13}+1}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{5}{13}}\\=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{18}{{13}}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8}{13}}\\=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}+\frac{2\sqrt2}{2\sqrt{13}}\\=\frac{5}{\sqrt{26}}\\y\\=\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2}\\=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\frac{1}{2}(\cos\alpha+1)}-\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)}\\=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{13}+1}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{5}{13}}\\=\frac{1}{2}(\sqrt\frac{18}{13}-\sqrt{\frac{8}{13}})\\=\frac{1}{2}･\frac{3\sqrt2-2\sqrt2}{\sqrt{13}}\\=\frac{1}{\sqrt{26}}
$$

よって、

$$
(x,y)=(\frac{5}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}})
$$

(ii)$${\theta=\frac{5\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}}$$のとき

$$
x\\=\cos\theta\\=\cos(\frac{5\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=\cos\{\pi+(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\}\\=\cos\pi\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})-\sin\pi\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=-\frac{5}{\sqrt{26}}\\y\\=\sin\theta\\=\sin(\frac{5\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=\sin\{\pi+(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\}\\=\sin\pi\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})+\cos\pi\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{26}}
$$

よって、

$$
(x,y)=(-\frac{5}{\sqrt{26}},-\frac{1}{\sqrt{26}})
$$

以上、(i)(ii)により

$$
答:\underline{最大値は16で、(x,y)=(\frac{5}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}}),(-\frac{5}{\sqrt{26}},-\frac{1}{\sqrt{26}})のとき。}
$$

【コメント】
$${2}$$変数の媒介変数表示、加法定理、半角の公式、三角関数の合成などを駆使して最大値を得ました。角$${\alpha}$$が具体的に求まらなくても、$${\cos\alpha,\sin\alpha}$$の値を利用して解くことができます。