第n次導関数

問
次の関数の第$${n}$$次導関数を求めよ。
（１）$${y=e^{ax}}$$
（２）$${y=\cos x}$$
（３）$${y=\sin ^2x}$$

解答
（１）$${y=e^{ax}}$$
答案１
$${y^{(1)}=ae^{ax},y^{(2)}=a^2e^{ax},……}$$より、帰納的に
$${y^{(n)}=a^ne^{ax}}$$ ………（答）

答案２
$${y^{(1)}=ae^{ax},y^{(2)}=a^2e^{ax},……}$$より、
$${y^{(n)}=a^ne^{ax}}$$         ーーーーーーーーーー①
と推測できる。この命題を「数学的帰納法」を用いて示したい。
(i)$${n=1}$$のとき
$${y^{(1)}=y'=a^1e^{ax}}$$より①は成り立つ。
(ii)$${n=k}$$のとき①の命題が成り立つと仮定する。
すなわち、
$${y^{(k)}=a^ke^{ax}}$$
が成り立つと仮定する。このとき
$${y^{(k+1)}=(y^{(k)})'=(a^ke^{ax})'=a^{(k+1)}e^{ax}}$$
より、①の命題が成り立つ。
以上(i),(ii)により、任意の自然数$${n}$$について、①が成り立つ。
[証明終]
以上により、$${y=x^{ax}}$$の第ｎ次導関数$${y^{(n)}}$$は
$${y^{(n)}=a^ne^{ax}}$$である。

（２）$${y=\cos x}$$
一般に、
$${\sin x=\cos(x+\frac{\pi}{2})\\-\cos x=\cos(x+\pi)}$$
などが成り立つ。また、
$${y= \cos x , y^{(1)}=- \sin x= \cos (x+\frac {\pi }{2}) , y^{(2)}=- \cos x=\cos (x+\pi ) , y^{(3)}= \sin x= \cos (x+ \frac {3}{2} \pi ) , y^{(4)}= \cos x= \cos (x+2 \pi ) , …}$$より、
$${y^{(n)}=\cos(x+\frac{n}{2}\pi)}$$          ーーーーーーーーーー②
と推測できる。これを「数学的帰納法」により示したい。
(i)$${n=1}$$のとき
$${y^{(1)}=-\sin x=\cos(x+\frac{1}{2}\pi)}$$により②は成り立つ。
(ii)$${n=k}$$のとき②が成り立つ、すなわち
$${y^{(k)}=\cos(x+\frac{k}{2}\pi)}$$
が成り立つと仮定する。このとき
$${y^{(k+1)}=(\cos(x+\frac{k}{2}\pi))'=-\sin(x+\frac{k}{2}\pi)\\=\cos(x+\frac{k}{2}\pi+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{k+1}{2}\pi)}$$
より、$${k+1}$$のときも②が自ずと成り立つ。
以上、(i)(ii)により、任意の自然数nについて②が成り立つ。
よって、（答）$${y^{(n)}=\cos(x+\frac{n}{2}\pi)}$$

（３）$${y=\sin ^2x}$$
$${y^{(1)}=2\sin x\cos x=\sin 2x\\y^{(2)}=2\cos 2x=2\sin (2x-\frac{\pi}{2})\\y^{(3)}=-2^2\sin 2x=2^2\sin (2x-\pi)\\y^{(4)}=-2^3\cos 2x=2^3\sin (2x-\frac{3}{2}\pi)}$$より、第$${n}$$次導関数は、
$${y^{(n)}=2^{n-1}\sin (2x-\frac{n-1}{2}\pi)}$$         ーーーーーーーーーー③
と推測できる。これを「数学的帰納法」により示したい。
(i)$${n=1}$$のとき
上記のように、$${y^{(1)}=2\sin x\cos x=\sin 2x}$$により成り立つ。
(ii)$${n=k}$$のとき③が成り立つと仮定する。すなわち、
$${y^{(k)}=2^{k-1}\sin (2x-\frac{k-1}{2}\pi)}$$
が成り立つと仮定する。このとき、
$${y^{(k+1)}=(y^{(k)})'=2*2^{k-1}\cos(2x-\frac{k-1}{2}\pi)=2^{(k+1)-1}\sin(2x-\frac{(k+1)-1}{2}\pi)}$$より、$${n=k+1}$$の時にも③が成り立つ。
以上(i)(ii)により、任意の自然数$${n}$$について、③が成り立つ。よって、
答）$${y^{(n)}=2^{n-1}\sin (2x-\frac{n-1}{2}\pi)}$$