無理数の大小比較

第１問
$${4}$$つの数$${a=3\sqrt2,~b=2\sqrt5,~c=\sqrt6+2,~d=\sqrt7+\sqrt3}$$の大小を比較せよ。
                             （防衛大）

第２問
正の数$${a}$$の小数部分を$${\{a\}}$$であらわすとき、$${2}$$つの数

$$
\{\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}\},~\{-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}\}
$$

の大小を比較せよ。
                              （東北学院大学）

【第１問の解答】

$${0<{x^2}<{y^2}}$$のとき、$${0<{x}<{y}}$$である。従って、それぞれの数を$${2}$$乗した値の比較により評価してもよい。
また、$${x<{y}}$$のとき、$${\sqrt{x}<\sqrt{y}}$$である。よって、

$$
a^2=18=10+2\sqrt{16}\\b^2=20=10+2\sqrt{25}\\c^2=10+4\sqrt6=10+2\sqrt{24}\\d^2=10+2\sqrt{21}
$$

ここで、$${16<21<24<25}$$より、[答]:$${\underline{a<{d}<{c}<{b}}}$$

【第２問の解答】

$$
\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}\\=\frac{10+4\sqrt6}{2}\\=5+2\sqrt6\\=5+\sqrt{24}
$$

ここで、

$$
16<24<25\\4<\sqrt{24}<5\\9<5+\sqrt{24}<10
$$

すなわち、$${\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}}$$の整数部分は$${9}$$であり、小数部分は$${\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}-9}$$である。よって、

$$
\{\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}\}\\=\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}-9\\=5+\sqrt{24}-9\\=2\sqrt{6}-4・・・①
$$

$$
-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}\\=-\sqrt{6}+2\sqrt6\\=\sqrt6
$$

ここで、$${4<6<9}$$より、$${2<\sqrt6<3}$$すなわち、$${-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}}$$の整数部分は$${2}$$、小数部分は$${-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}-2}$$である。よって、

$$
\{-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}\}\\=-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}-2\\=\sqrt6-2・・・②
$$

①と②の差をとって、

$$
\{\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}\}-\{-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}\}\\=(2\sqrt{6}-4)-(\sqrt6-2)\\=\sqrt6-2\\=\sqrt6-\sqrt4>0
$$

よって、[答]:$${\underline{\{\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}\}>\{-\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}+\frac{12}{\sqrt6}\}}}$$

【コメント】

$$
4<6<9\\\sqrt4<\sqrt6<\sqrt9\\2<\sqrt6<3\\4<2\sqrt6<6
$$

とすると失敗し、

$$
16<24<25\\\sqrt{16}<\sqrt{24}<\sqrt{25}\\4<2\sqrt6<5
$$

とすると成功する。なんだかおもしろいですね。