7の77777乗

$${7^{77777}}$$の下$${3}$$桁を求めよ。

【解答】
下$${3}$$桁なので、$${10^3}$$を法として$${7^n\equiv1}$$となる自然数$${n}$$を見つけたい。
当然のことながら、下$${3}$$桁が$${"001"}$$である数の下$${1}$$桁は$${"1"}$$なので、$${\mathbf{10^1}}$$を法として$${7^n\equiv1}$$であることが必要条件であることに着目し、条件を絞っていこう。

$$
7^1\equiv7\\7^2\equiv9\\7^3\equiv3\\7^4\equiv1
$$

$${7^4\equiv1}$$の発見により、$${7}$$の累乗の下$${1}$$桁は、$${7,9,3,1,7,9,3,1,…}$$と循環することが分かった。つまり、$${n}$$を自然数として、$${7^{4n}}$$の中に候補がある。
かなり候補が絞られたので、$${\mathbf{10^3}}$$を法として$${7^{4n}\equiv(7^4)^n\equiv401^n\equiv1}$$を満たす$${n}$$を探索する。

$$
401^1\equiv401\\401^2\equiv801\\401^3\equiv201\\401^4\equiv601\\401^5\equiv1
$$

$${401^5\equiv1}$$の発見により、$${401}$$の累乗の下$${3}$$桁は、$${401,801,201,601,001,401,801,201,601,001…}$$と循環することが分かった。$${77777=20･3888+17}$$より、引き続き$${\mathbf{10^3}}$$を法として

$$
7^{77777}\\\equiv(7^{20})^{3888}･7^{17}\\\equiv7^{17}\\\equiv7^{4･4+1}\\\equiv(7^4)^4･7\\\equiv401^4･7\\\equiv601･7\\\equiv207
$$

答:$${\underline{207}}$$

【コメント】
ツイッターで公表された問題を解いてみました。
https://twitter.com/Math_Beginner__/status/1505469220150460419