n枚の番号札から３枚取り出す

箱の中に$${1}$$から$${n}$$までの番号のついた$${n}$$枚の札がある。ただし$${n\geqq5}$$とし、同じ番号の札はないとする。この箱から$${3}$$枚の札を同時に取り出し、札の小さい順に$${X,Y,Z}$$とする。このとき、$${Y-X\geqq2,~Z-Y\geqq2}$$となる確率を求めよ。
                              （京都大）

【前提】

$$
\sum_{k=1}^{n}1=n\\\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\\\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
$$

【解答】
与えられた条件を、式に明示されていないものも含めて列挙し、整理していこう。

$$
1\leqq{X}\\5\leqq{X+4}・・・①\\{Z}\leqq{n}・・・②\\Y-X\geqq2\\Y\geqq{X}+2\\Y+2\geqq{X}+4\\X+4\leqq{Y}+2・・・③\\Z-Y\geqq2\\Z\geqq{Y}+2\\Y+2\leqq{Z}・・・④
$$

①③④②とつなげると、

$$
5\leqq{X+4}\leqq{Y+2}\leqq{Z}\leqq{n}
$$

これにより、

$$
\begin{cases}1\leqq{X}\leqq{n-4}\\3\leqq{Y}\leqq{n-2}\\5\leqq{Z}\leqq{n}\end{cases}
$$

よって、$${X}$$のとりうる値$${1,2,3,…,n-4}$$のそれぞれに対して、$${Y}$$は$${X+2,X+3,X+4,…,n-2}$$の値をとり、$${(X,Y)}$$のとりうる値の組に対して、$${Z}$$は、$${Y+2,Y+3,…,n}$$の値をとる。従って、$${(X,Y,Z)}$$の組み合わせの総数は、

$$
\sum_{X=1}^{n-4}~\sum_{Y=X+2}^{n-2}\{n-(Y+2)+1\}\\=\sum_{X=1}^{n-4}~\sum_{Y=X+2}^{n-2}\{(n-1)-Y\}\\=\sum_{X=1}^{n-4}[(n-1)\{n-2-(X+1)\}-\frac{1}{2}\{n-2-(X+1)\}(n-2+X+2)]\\=\sum_{X=1}^{n-4}[(n-X-3)\{n-1-\frac{1}{2}(n+X)\}]\\=\frac{1}{2}\sum_{X=1}^{n-4}\{(X-n+3)(X-n+2)\}\\=\frac{1}{2}\sum_{X=1}^{n-4}\{X^2-(2n-5)X+(n-2)(n-3)\}\\=\frac{1}{2}\{\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(2n-7)-(2n-5)･\frac{1}{2}(n-4)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)\}\\=\frac{1}{12}(n-3)(n-4)(2n-7-6n+15+6n-12)\\=\frac{1}{12}(n-3)(n-4)(2n-4)\\=\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)
$$

よって求める確率は、

$$
\frac{\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)}{_{n}C_3}\\=\frac{\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3･2･1}}\\=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}
$$

[答]:$${\underline{\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}}}$$

【コメント】

$$
5\leqq{X+4}\leqq{Y+2}\leqq{Z}\leqq{n}
$$

をいわゆる「重複組み合わせ」とみなし、$${_nH_r=_{n+r-1}C_r}$$を用いて、

$$
_{n-5+1}H_{3}\\=_{n-4}H_3\\=_{n-4+3-1}C_3\\=_{n-2}C_3\\=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{3･2･1}\\=\frac{1}{6}(n-2)(n-3)(n-4)
$$

とあっさり解いてしまった人もいるかもしれません。