内積のとりあつかい

四面体$${OABC}$$が

$$
OA=4\\OB=AB=BC=3\\OC=AC=2\sqrt3
$$

を満たしているとする。$${P}$$を辺$${BC}$$上の点とし、$${\triangle{OAP}}$$の重心を$${G}$$とする。このとき、次の各問に答えよ。

（１）$${\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}}$$を示せ。

（２）$${P}$$が辺$${BC}$$上を動くとき、$${PG}$$の最小値を求めよ。

                              （京都大）

【解答】
（１）点$${P}$$は線分$${BC}$$を$${t:(1-t)}$$に内分している$${(0\lt{t}\lt{1})}$$とする。また

$$
\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\\\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}
$$

とすると、

$$
\overrightarrow{PG}\\=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}\\=\frac{2}{3}･\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{OP})-\overrightarrow{OP}\\=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\{(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\}\\=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}(t-1)\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}t\overrightarrow{c}\\\overrightarrow{PG}･\overrightarrow{OA}\\=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}|^2+\frac{2}{3}(t-1)\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}t\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}･･･①
$$

ここで、

$$
|\overrightarrow{a}|^2=16,|\overrightarrow{b}|^2=9,|\overrightarrow{c}|^2=12･･･②\\|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=16+9-2\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=9\\|\overrightarrow{AC}|^2=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}=16+12-2\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}=12\\|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}=9+12-2\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}=9
$$

より、

$$
\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}=8,\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}=6･･･③
$$

①②③より、

$$
\overrightarrow{PG}･\overrightarrow{OA}\\=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}(t-1)-\frac{16}{3}t\\=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}t-\frac{16}{3}-\frac{16}{3}t\\=0
$$

ここで、$${\overrightarrow{PG}\neq0,\overrightarrow{OA}\neq0}$$より、$${\underline{\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}}}$$[終]

（２）$${\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}(t-1)\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}t\overrightarrow{c}}$$より、

$$
|\overrightarrow{PG}|^2\\=\frac{1}{9}|\overrightarrow{a}|^2+\frac{4}{9}(t^2-2t+1)|\overrightarrow{b}|^2+\frac{4}{9}t^2|\overrightarrow{c}|^2\\+\frac{4}{9}(t-1)\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}-\frac{8}{9}(t^2-t)\overrightarrow{b}･\overrightarrow{c}-\frac{4}{9}t\overrightarrow{a}･\overrightarrow{c}\\=\frac{16}{9}+4(t^2-2t+1)+\frac{16}{3}t^2\\+\frac{32}{9}(t-1)-\frac{16}{3}(t^2-t)-\frac{32}{9}t\\=4t^2-\frac{8}{3}t+\frac{20}{9}\\=4(t^2-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9})-\frac{4}{9}+\frac{20}{9}\\=4(t-\frac{1}{3})^2+\frac{16}{9}
$$

よって、[答]$${PG}$$の最小値は、$${\frac{4}{3}}$$($${BP=1}$$のとき)

【コメント】
これは完答したい。