正負が交代する無限級数

$${b_n=(-1)^{n-1}\log\frac{n+2}{n}~(n=1,2,3,…)}$$で定められる数列$${b_n}$$に対して、$${S_n=b_1+b_2+…+b_n}$$とする。このとき$${\lim_{n\to\infty}S_n}$$を求めよ。ただし、$${\log\frac{n+2}{n}}$$は$${e=2.71828…}$$を底とする対数とする。
                    （岡山大）

【解答】
$${\log\frac{n+2}{n}=-\log{n}+\log{(n+2)}}$$である。
$${m}$$を自然数$${(m=1,2,3,…)}$$とする。

(i)$${n=2m-1}$$のとき

$$
S_n=(-\log1+\log3)-(-\log2+\log4)\\+(-\log3+\log5)-(-\log4+\log6)+…\\…+\{-\log(n-4)+\log(n-2)\}-\{-\log(n-3)+\log(n-1)\}\\+\{-\log(n-2)+\log{n}\}-\{-\log(n-1)+\log(n+1)\}\\+\{-\log{n}+\log(n+2)\}\\=-\log1+\log2+\sum_{k=3}^{n}\log{k}-\sum_{k=3}^{n}\log{k}-\log(n+1)+\log(n+2)\\=\log2+\log\frac{n+2}{n+1}\\=\log2+\log(1+\frac{1}{n+1})
$$

よって、

$$
\lim_{n\to\infty}S_n=\log2・・・①
$$

(ii)$${n=2m}$$のとき、①より

$$
S_n=S_{2m-1}+b_{2m}\\=\log2-\{-\log{n}+\log(n+2)\}\\=\log2+\log\frac{n+2}{n}\\=\log2+\log(1+\frac{2}{n})
$$

よって

$$
\lim_{n\to\infty}S_n=\log2
$$

以上、(i)(ii)より、

$$
\lim_{m\to\infty}S_{2m-1}=\lim_{m\to\infty}S_{2m}=\log2
$$

よって
答:$${\underline{\lim_{n\to\infty}S_n=\log2}}$$

【コメント】
場合分けをして、極限が一致することを確認するのは常套手段です。
(ii)では(i)の結果を利用すると計算量が減ります。