無限級数のとりあつかい

$${S=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{a^n}=\frac{5}{4}}$$のとき、実数$${a(a>1)}$$の値を求めよ。ただし、$${\lim_{n\to\infty}\frac{n}{a^n}=0}$$であることを利用してよい。
                              （防衛医大）

【前提】
一般に、無限等比級数は、公比の絶対値が$${1}$$未満のとき収束し、$${1}$$以上のとき発散する。

$$
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nar^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\begin{cases}\frac{a}{1-r}(|r|<1)\\\infty(|r|\geqq1)\end{cases}
$$

このように、無限級数は、まず、第$${n}$$項までの部分和を計算し、その極限$${(n\to\infty)}$$として評価します。

【解答】
無限級数$${S}$$の第$${n}$$項までの部分和を$${S_n}$$とすると、

$$
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{a^k}=\frac{2}{a}+\frac{3}{a^2}+\frac{4}{a^3}+…+\frac{n}{a^{n-1}}+\frac{n+1}{a^n}\\\frac{1}{a}S_n=\frac{2}{a^2}+\frac{3}{a^3}+\frac{4}{a^4}+…+\frac{n-1}{a^{n-1}}+\frac{n}{a^n}+\frac{n+1}{a^{n+1}}
$$

両辺減じて

$$
S_n-\frac{1}{a}S_n=\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+…+\frac{1}{a^n}-\frac{n+1}{a^{n+1}}\\(1-\frac{1}{a})S_n=\frac{1}{a}+\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{a})^k-\frac{n+1}{a^{n+1}}・・・①
$$

ここで、$${\lim_{n\to\infty}\frac{n}{a^n}=0}$$より

$$
\lim_{n+1\to\infty}\frac{n+1}{a^{n+1}}=0\\\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{a^{n+1}}=0・・・②
$$

$${a>1}$$より、$${\frac{1}{a}<1}$$となるので、

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{a})^k=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{a}\{1-\{\frac{1}{a})^n\}}{1-\frac{1}{a}}=\frac{1}{a-1}・・・③
$$

また、$${S=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{a^n}=\frac{5}{4}}$$より、

$$
\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{a})S_n=(1-\frac{1}{a})S=\frac{5}{4}(1-\frac{1}{a})・・・④
$$

①の極限をとり、②③④を代入して

$$
\frac{5}{4}(1-\frac{1}{a})=\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}
$$

両辺に$${4a(a-1)\neq0}$$をかけて

$$
5(a-1)^2=4(a-1)+4a\\5a^2-10a+5=8a-4\\5a^2-18a+9=0\\(5a-3)(a-3)=0
$$

$${a>1}$$より、答:$${\underline{a=3}}$$

【コメント】
「等差数列と等比数列の積」の和は、公比の乗除でずらして引くのが常套手段です。