連立漸化式とその極限

数列$${\{a_n\},\{b_n\}}$$を

$$
\begin{cases}a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1}~~(n=1,2,3,…)\\b_1=3,b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1}~~(n=1,2,3,…)\end{cases}
$$

と定めるとき、次の問いに答えよ。

（１） $${\alpha=1+\sqrt{2}}$$とする。自然数$${n}$$に対して、不等式

$$
|a_{n+1}-\alpha |\leqq\frac{2}{1+\alpha}|b_n-\alpha|
$$

が成り立つことを示せ。

（２）極限値$${\lim_{n\to\infty}a_n,\lim_{n\to\infty}b_n}$$を求めよ。
                              （弘前大）

【解答】
（１）与えられた漸化式から、任意の自然数$${n}$$について、帰納的に

$$
a_n\geqq0,b_n\geqq0 ･･･①
$$

である。また、不等式の左辺を①を用いて変形すると、

$$
|a_{n+1}-\alpha|\\=|\sqrt{2b_n+1}-(1+\sqrt2)|\\=|\frac{2b_n+1-3-2\sqrt2}{\sqrt{2b_n+1}+\alpha}|\\=\frac{|2b_n-2\alpha|}{\sqrt{2b_n+1}+\alpha}\\=\frac{2|b_n-\alpha|}{\sqrt{2b_n+1}+\alpha}･･･②
$$

ここで、①より$${\sqrt{2b_n+1}\geqq1}$$である。よって②より

$$
|a_{n+1}-\alpha|\\=\frac{2|b_n-\alpha|}{\sqrt{2b_n+\alpha}}\leqq\frac{2}{1+\alpha}|b_n-\alpha|
$$

すなわち、$${|a_{n+1}-\alpha|\leqq\frac{2}{1+\alpha}|b_n-\alpha|}$$である。[終]

（２）$${|b_{n+1}-\alpha|}$$に関して、①を用いて同様に変形すると、

$$
|b_{n+1}-\alpha|\leqq\frac{2}{1+\alpha}|a_n-\alpha|
$$

という$${2}$$つ目の不等式が得られる。これらを連立することにより、

$$
|a_{n+2}-\alpha|\leqq\frac{2}{1+\alpha}|b_{n+1}-\alpha|\leqq(\frac{2}{1+\alpha})^2|a_n-\alpha| ･･･③
$$

を得る。この不等式は、$${\{a_n\},\{b_n\}}$$それぞれの数列についてひとつ飛びの評価を与える式となっているので、奇数と偶数に分けて考える必要がある。まず、$${\{a_n\}}$$に着目する。

（ｉ）$${n=2m-1~(mは自然数)}$$のとき

$$
0\leqq|a_{2m-1}-\alpha|\leqq(\frac{2}{1+\alpha})^2|a_{2m-3}-\alpha|\leqq…\leqq(\frac{2}{1+\alpha})^{2m-2}|a_1-\alpha|
$$

ここで、$${\frac{2}{1+\alpha}=2-\sqrt2}$$より、$${0\lt\frac{2}{1+\alpha}\lt1}$$である。よって

$$
\lim_{m\to\infty}(\frac{2}{1+\alpha})^{2m-2}|a_1-\alpha|=0
$$

よって、いわゆる「はさみうちの原理」により、

$$
\lim_{m\to\infty}|a_{2m-1}-\alpha|=0
$$

（ii）$${n=2m (mは自然数)}$$のとき

同様にして、

$$
0\leqq|a_{2m}-\alpha|\leqq(\frac{2}{1+\alpha})^{2m-2}|a_2-\alpha|\\\lim_{m\to\infty}(\frac{2}{1+\alpha})^{2m-2}|a_2-\alpha|=0\\\lim_{m\to\infty}|a_{2m}-\alpha|=0
$$

以上(i),(ii)より、

$$
\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha=1+\sqrt2 ･･･④
$$

④と与えられた漸化式により

$$
\lim_{n\to\infty}b_n\\=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2a_{n-1}+1}\\=\sqrt{2(1+\sqrt2)+1}\\=\sqrt{1+2+2\sqrt{1･2}}\\=\sqrt1+\sqrt2\\=1+\sqrt2
$$

よって、[答] $${\underline{(\lim_{n\to\infty}a_n,\lim_{n\to\infty}b_n)=(1+\sqrt2,1+\sqrt2)}}$$