面積と極限

$${f(x)=x^2+2kx (k>1)}$$とおく。曲線$${y=f(x)}$$と円$${C:x^2+y^2=1}$$の$${2}$$つの交点のうち、第$${1}$$象限の点を$${P}$$、第$${3}$$象限の点を$${Q}$$とする。点$${O(0,0),A(1,0),B(-1,0)}$$に対し、$${\alpha=∠AOP,\beta=∠BOQ}$$とおく。
（１）$${k}$$を$${\alpha}$$で表せ。
（２）曲線$${y=f(x)}$$と円$${C}$$で囲まれる$${2}$$つの図形のうち、$${y=f(x)}$$の上側にあるものの面積$${S(k)}$$を$${\alpha}$$と$${\beta}$$で表せ。
（３）$${\lim_{k\to\infty}S(k)}$$を求めよ。
                               （東北大）

【前提】
いわゆる$${6}$$分の$${1}$$公式を導出しておく。

$$
\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx\\=\int^{\beta}_{\alpha}\{x-\beta-(\alpha-\beta)\}(x-\beta)dx\\=\int^{\beta}_{\alpha}\{(x-\beta)^2-(\alpha-\beta)(x-\beta)\}dx\\=[\frac{1}{3}(x-\beta)^3-\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\beta)^2]^{\beta}_{\alpha}\\=-\frac{1}{3}(\alpha-\beta)^3+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)^3\\=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
$$

これを利用すると、$${2}$$次の係数と交点の$${x}$$座標だけで面積が求まるので、重宝する。

【解答】
（１）$${y=f(x)}$$と$${C}$$の式を$${x,y}$$を変数とする連立方程式とみなして解いた解が$${(x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha)}$$となるので、

$$
\cos^2\alpha+2k\cos\alpha=\sin\alpha\\k=\frac{\sin\alpha-\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}=\underline{\frac{1}{2}(\tan\alpha-\cos\alpha)}･･･[答]
$$

（２）弧$${PBQ}$$の中心角は$${\pi-\alpha+\beta}$$なので、求める面積は、(i)線分$${OP}$$と曲線$${y=f(x)}$$で囲まれる図形、(ii)線分$${OQ}$$と曲線$${y=f(x)}$$で囲まれる図形、(iii)弧$${PBQ}$$、線分$${OP}$$、線分$${OQ}$$で囲まれる扇形 の面積の和として求められる。

$$
S(k)=-\int^{\cos\alpha}_{0}x(x-\cos\alpha)dx-\int^{0}_{-\cos\beta}x(x+\cos\beta)dx+\pi\frac{\pi-\alpha+\beta}{2\pi}\\=\frac{1}{6}\cos^3\alpha+\frac{1}{6}\cos^3\beta+\frac{1}{2}(\pi-\alpha+\beta)\\=\underline{\frac{1}{6}(\cos^3\alpha+\cos^3\beta)+\frac{1}{2}(\pi-\alpha+\beta)}･･･[答]
$$

（３） 点$${Q(-\cos\beta,-\sin\beta)}$$より、（１）と同様に計算すると、

$$
(-\cos\beta)^2+2k(-\cos\beta)=-\sin\beta\\k=\frac{\cos^2\beta+\sin\beta}{2\cos\beta}=\frac{1}{2}(\tan\beta+\cos\beta)
$$

$${k\to\infty}$$のとき、$${k=\frac{1}{2}(\tan\alpha-\cos\alpha)=\frac{1}{2}(\tan\beta+\cos\beta)}$$より、$${-1<-\cos\alpha<0,0<\cos\beta<1}$$なので、$${\alpha\to\frac{\pi}{2}-0,\beta\to\frac{\pi}{2}-0}$$となる。よって、

$$
\lim_{k\to\infty}S(k)\\=\frac{1}{6}(0+0)+\frac{1}{2}(\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})\\=\underline{\frac{\pi}{2}}･･･[答]
$$

【コメント】
求積はパズル。