「有理数である対数」

$${n}$$を自然数とする。$${5832}$$を底とする$${n}$$の対数$${\log_{5832}n}$$が有理数であり、$${\frac{1}{2}\lt\log_{5832}n\lt1}$$を満たすとき、$${n}$$の値を求めよ。
                              （群馬大）

【解答】
$${n}$$は自然数であり、$${5832\gt1}$$なので、

$$
n\geqq1\\\log_{5832}n\gt0
$$

よって、$${\log_{5832}n}$$は、自然数$${p,q}$$を用いて

$$
\log_{5832}n=\frac{p}{q}･･･①
$$

という表現を持つ。これを対数の定義にもとづき変形すれば、

$$
n=5832^{\frac{p}{q}}\\=(2^3･3^6)^\frac{p}{q}\\=2^\frac{3p}{q}･3^\frac{6p}{q}･･･②
$$

ここで、$${\frac{1}{2}\lt\log_{5832}n\lt1}$$に①を代入して、

$$
\frac{1}{2}\lt\log_{5832}n\lt1\\\frac{1}{2}\lt\frac{p}{q}\lt1\\\frac{3}{2}\lt\frac{3p}{q}\lt3･･･③
$$

ここで、$${n}$$が自然数であるので、②より、$${\frac{3p}{q}}$$もまた自然数でなければならない。したがって③より、

$$
\frac{3p}{q}=2\\\frac{6p}{q}=4\\n=2^2･3^4=324
$$

[答]:$${\underline{n=324}}$$

【コメント】
「有理数」と来たら、直ちに$${\frac{p}{q}(p,qは整数,q\ne0)}$$。これは有理数の定義です。