奇数の不思議#2

前回、偶数の話をしたので今回は奇数。この話も多くのサイトで紹介されているので今さら感があるが、まあバランスとして奇数の話をしておく。

奇数だけの和を考えてみる。

1+3=4 となる。4は2×2ともかけるので、1+3 = 2×2　だ。

次は　1+3+5 = 9 = 3×3　となる。

その次は 1+3+5+7 = 16 = 4×4 となる。そろそろお気づきの方もいるとおもうが、答えがキレイに１ずつ増えていってるのがわかる。計算せずとも次は5×5じゃないの？と想像したあなたはセンスがある。

1+3+5+7+9 = 5×5

1+3+5+7+9+11 = 6×6

1+3+5+7+9+11+13 = 7×7

とどんどん続いていく。当然、偶然こんなことが起こっているのではなく、等差数列の和を計算すると証明できる。ざっと理解しようとすれば、最初の１と最後の数を２で割った数が何個あるか？を考えればおおよその理解はできる。13まで足す例だと、最初と最後を足して２で割ると (1+13)/2 = 7 で、最初から２番目と最後から２番目を足して２で割っても同じ７となる。この足して２で割って７になるペアが３つあり、真ん中に残った７があるので、７は全部で７つあることになる。よって、7×7という答えになる。

これだけでは、あまり不思議ではないので、やはり無限級数の和も紹介しておく（ライプニッツ級数、グレゴリー・ライプニッツ級数、ライプニッツの公式）。

左側は奇数しかでてこない（符号が交互に入れ替わる）が、左側には無理数であるπ＝3.1415926... がでてくる。無限級数の和についてはどこかでもっと詳しく説明する予定だ。数式は、mathcha というソフトで作成。