世の中の増減は率で変わる

【問】文中の括弧〔ア,イ,ウ,エ〕から適当な方を選び、括弧〔オ,カ〕に適当な式を入れて、文章を完成させてください。

　世の中の増減は率で変わる。人口増加率、経済成長率、金利 … 。率で変わるものは指数関数的に変わる。直線的に変わるわけではない。なお、現実には変化率は一定ではない。コロコロ変わる。
　指数関数的に変わるものは、あっという間にべらぼうに大きくなる。もしくはやけに細かくなる。普通のグラフに収まらなくなる。そこで対数をとる。そうすると適度な大きさになる。しかも直線的な動きになる。つまり分かりやすくなる。扱いやすくなる。
　将来ビジネスを始めたと考えよう。伸び率が一定とは限らないが、起業して最初の r 年で売上が（基準の）R 倍になり … (1) 、続く s 年で売上がさらに S 倍になった … (2) としよう。このとき、起業して最初の〔ア：r＋s , rs〕年で売上が〔イ：R＋S , RS〕倍になったことになる … (3) 。
　以上の話は伸び率が一定であってもなくても言えることだが、伸び率が一定 a の場合には (1) , (2) , (3) はいずれも指数関数もしくは対数関数で表される。
　(1) の R を a と r で表すと R＝aʳ となり、(2) の s を a と S で表すと s＝logₐS となる。そしてこの場合、年数は売上の〔ウ：指数 , 対数〕関数であり、売上は年数の〔エ：指数 , 対数〕関数であると言える。
　また (3) を指数関数で表すと RS＝aʳ⁺ˢ となり、対数関数で表すと r＋s＝logₐRS となるが、年数の関係を r , s を使わずに量 R , S で表すと〔　オ　〕となり、量の関係を R , S を使わずに年数 r , s で表すと〔　カ　〕となる。

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　この問題を実際に高校３年の定期試験で出したところ、［ア］〜［エ］はよく出来ていました、

《答》　ア：r＋s　　　イ：RS　　　ウ：対数　　　エ：指数

　けれども、最後の２つ［オ］と［カ］がダメでしたね。説明しましょう。
　　①： 最初の r 年で R 倍　⇔　R＝aʳ … ①’　⇔　r＝logₐR … ①’’

　　②：   続く  s 年で S 倍　⇔　S＝aˢ … ②’　⇔　s＝logₐS … ②’’

　　③： (r+s) 年で RS 倍　⇔　RS＝aʳ⁺ˢ … ③’　⇔　r＋s＝logₐRS … ③’’
ここまでは問題文にほぼ書いてあります。

　さて、③を「r , s を使わずに R , S で表す」ためには、③’’ に ①’’ と ②’’ を代入すれば、
ご存知の公式「logₐR＋logₐS＝logₐRS」が出てきます。このとき両辺は「時間」（年数）を表します。（ logₐR は「量がR倍になるのに要する時間」です）
　また、③を「R , S を使わずに r , s で表す」ためには、③’ に ①’ と ②’ を代入すれば、
ご存知の公式「aʳaˢ＝aʳ⁺ˢ」が出てきます。このとき両辺は「量」（何倍か）を表します。以上から、

　　　《答》　オ：logₐR＋logₐS＝logₐRS　　　カ：aʳaˢ＝aʳ⁺ˢ

です。どちらも数学Ⅱの教科書に出てくる基本的な公式・法則です。

　［カ］について「そりゃそうだ」としっくりくる人が多いでしょう。
　さて、［オ］はどうでしょうか。実は［オ］と［カ］は全く同じもの、単なる書き換えなんですね。ですから［カ］が「当然だ」と思えるなら、［オ］も「そりゃそうだ、当然だ」と思いたいものです。
　それはそうと、問題文を読めば、《答え》上のように決まります。他にはあり得ません。

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　ついでながら、もう１つの指数法則 (aʳ)ᵗ＝aʳᵗ … ④ についても、これを機械的に対数に書き換えることで別の対数公式（法則）を導くことができます。④ の右肩部分 rt を指数部分と読み取って、rt＝logₐ(aʳ)ᵗ 。次に r を R で置き換えれば、公式 logₐRᵗ＝t logₐR の完成です。

　さらについでながら、対数を使う上であと１つ知っておきたい公式は、底変換公式です。等式 R＝aʳ（⇔ r＝logₐR）の両辺の底を x とする対数をとると、
　　logₓR＝logₓaʳ＝r logₓa　⇔　r＝logₓR／logₓa　⇔　logₐR＝logₓR／logₓa
が導かれます。最後の式を見ると、左辺の底 a だったものが、右辺の底 x の対数に書き換えられました。
　以上まとめると、

　《指数》　　　　　《対数》
　 R＝aʳ　　⇔　r＝logₐR＝logₓR／logₓa
   aʳaˢ＝aʳ⁺ˢ　⇔　logₐR＋logₐS＝logₐRS
　(aʳ)ᵗ＝aʳᵗ　⇔　　logₐRᵗ＝t logₐR

となります。指数・対数で知っておくべき公式は以上ですべてです。指数が使えるなら、対数に慣れればきっと大丈夫です。

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〜 指数で変わるものを対数で見る 〜　
▷ 指数の拡張　　　　▷ 世の中の増減は率で変わる
▷ 原子から宇宙までを１つの数直線に表してみよう
▷ ｅってなに？　　　　▷ e^iπ+1=0 を腑に落とす