指数の拡張

　a を n 回かけ合わせることを、aⁿ と書く。ここで n は 自然数 である。そして、黒板に書き並べる。
　　　　　　2³ = 8　→　2² = 4　→　2¹ = 2
　さぁ、ここから未体験ゾーンだ。なにしろ、指数部分が自然数ではなくなるのだから。なにはともあれ、上の続きを書いていこう。すなわち、指数部分の数字を１つずつ減らしながら、同時に右辺の値を半分にしていく。
　　　　　→　2⁰ = 1　→　2⁻¹ = 1/2　→　2⁻² = 1/4　→　・・・
　ところで、2 を –2 回かけ合わせるって、どういうことなんだろう？

　さて、次のことは中学生なら知っている。

　m ,n が自然数 のとき、 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ　　・・・ (1)

　では、割り算はどんな式で書けるか？　これがあんがい、ややこしい。

　m > n のとき、 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ　　　　　 ・・・ (2)
　m = n のとき、 aᵐ ÷ aⁿ = 1　　　　　　　・・・ (3)
　m < n のとき、 aᵐ ÷ aⁿ = 1／aᵐ⁻ⁿ　　　　・・・ (4)

　さて、以上のこと、なんとかならんかね。まっいいや、やっちゃえ。ということで、

　　　　a⁰ = 1　　　　　　　　　　　　　 ・・・ (5)
　　　　a⁻ⁿ = 1 / aⁿ　　　　　　　　　　　・・・ (6)

と、勝手に、決めちゃうことにする。
　そうすると、スゴイことがおきるぞ。まず、これまでは指数部分が 自然数 じゃないといけなかったが、指数部分が マイナス でも 0 でもよくなる。
　それだけじゃない。指数の割り算 (2) ～ (4) の式が、

　aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ　　　　　・・・ (2)

だけで済むようになる。
　まだあるぞ。指数の掛け算 (1) も割り算 (2) も

　aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ　　　　　・・・ (1)

この式１つで済んじゃうんだ。
だからオレは今日から、(5) と (6) に決めた！ （定義）
でもって、(1) だけで計算する！ （定理）　　　文句あるか？

・・・ 中学数学では計算練習や答案の書き方指導、高校数学では解法テクニックの伝授ばっかりで、こういう数学っぽいこと話せる機会って案外少ないんだよねぇ。

　さて、いまのところ (1) 式が m , n が整数で成り立つところまでは言えた。
　となると、次に考えたいのは、m , n が分数や小数の場合、さらに言うと m , n が実数の場合だ。
　とは言ったものの、ここから先は別の機会に。

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〜 指数で変わるものを対数で見る 〜　
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▷ 原子から宇宙までを１つの数直線に表してみよう
▷ ｅってなに？　　　　▷ e^iπ+1=0 を腑に落とす