ｎ枚のカード問題

◯　１枚のカード問題

　カードが１枚あって、片面に数字の 9 が書いてあり、もう片方の面にも１つの自然数が書いてあります。
　「奇数の裏面は素数」（奇数が書かれている面の反対の面には素数が書かれている）が正しいとすると、9 の反対の面に書かれている数字は何ですか？
　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ９ \\ \hline\end{array}}$$

◯　３枚のカード問題

　両面が白のカードが１枚、両面が黒のカードが１枚、片面が白で片面が黒のカードが１枚、全部で３枚のカードがあります。
　袋の中から１枚を選んでテーブルの上に置いたら、上面は白でした。そのカードをめくったとき、下面が白である確率はいくつですか？

◯　４枚のカード問題

　４枚のカードがあって、片面には数字１つが、もう片面にはアルファベット１文字が書いてあります。ある情報筋によると「偶数の裏は母音である」という話です。
　なるべく少ない枚数のカードをめくって「偶数の裏は母音である」がホントかウソか（真か偽か）を確かめるには、どのカードをめくればいいでしょうか？
　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ３ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ６ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline Ｔ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline Ａ \\ \hline\end{array}}$$

　そそうに答えると間違えますよ。では、《解説・解答》と行きましょう。

１枚のカード問題

　カードが１枚あって、片面に数字の 9 が書いてあり、もう片方の面にも１つの自然数が書いてあります。
　「奇数の裏面は素数」（奇数が書かれている面の反対の面には素数が書かれている）が正しいとすると、9 の反対の面に書かれている数字は何ですか？
　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ９ \\ \hline\end{array}}$$

《解説》
9 は奇数だから、条件「片面が奇数 ⇒ その裏面は素数」より、9 の裏面は素数である。… ①
次に、対偶を考える。対偶「片面が素数でない ⇒ その裏面は偶数」である。
9 は素数でないし、「元の条件が正しい ⇔ 対偶も正しい」から、9 の裏面は偶数である。… ②
① , ②より、9 の裏面に書かれている数は「素数であり かつ 偶数である数」である。
そのような数は１つしかない。

①は納得できるが、②は納得できないという人のために、X に適当な数を入れて試してみよう。
X＝3 の場合、「9 の裏が 3」は条件「奇数の裏面は素数」に合うようにみえるが、表と裏を入れ替えてみると「3（奇数）の裏が 9（素数でない）」となって、条件に合わない。
X＝2 の場合、「9 の裏が 2」は条件「奇数の裏面は素数」を満たすし、表と裏を入れ替えて「2 の裏が 9」としても条件「奇数の裏面は素数」に矛盾しない。
つまり、正しい。

《答え》　2

３枚のカード問題

　両面が白のカードが１枚、両面が黒のカードが１枚、片面が白で片面が黒のカードが１枚、全部で３枚のカードがあります。
　袋の中から１枚を選んでテーブルの上に置いたら、上面は白でした。そのカードをめくったとき、下面が白である確率はいくつですか？

　条件付き確率の問題ですが、確率の問題の中で統計の発想に近いのはこの手の問題です。
　さて、上の問題を複数の人に答えてもらうと、大体３つの答えに分かれます。

《Ａ君の答え》
上面が白で下面も白となるのは、両面が白のカードを取った場合だけ。つまり３枚のうちの１枚だから、求める確率は「１／３」である。

《Ｂ君の答え》
上面が白になるのは、白白のカードと白黒のカードの場合で、このうち裏返しても白なのは白白のカードだけ。よって、求める確率は「１／２」である。

《Ｃ君の答え》
カードの選び方が３通り、どちらを上にして置くかで２通り、全部で６通りと考える。
　　　上　：　　白１　白２　黒１　黒２　白３　黒３
　　　下　：　　白２　白１　黒２　黒１　黒３　白３
　　上が白：　　 ◯　　◯　　　　　　　　◯
　　下も白：　　 ◯　　◯
このうち上面が白であるのは３通り。この３通りのうち、下面が白であるのは２通り。よって、求める確率は「２／３」である。

　さて、正しいのはどれでしょうか。あるいはどれも間違っているのでしょうか。
　実際にやってみるとどうなるでしょうか。でも、確率的に現れる現象には必然的にバラツキが伴いますから、10回や20回じゃまるで足りない。実際にやって確信を得るには、少なくとも100回、できることならさらに多くの回数やった方が良いでしょう。ちょっと気が遠くなるでしょうか。
　シンプルなのに、意外と難しい問題でしょ。でも、これこそが統計のセンスを養う問題だろうと思います。正解はＣ君の「２／３」です。

４枚のカード問題

　４枚のカードがあって、片面には数字１つが、もう片面にはアルファベット１文字が書いてあります。ある情報筋によると「偶数の裏は母音である」という話です。
　なるべく少ない枚数のカードをめくって「偶数の裏は母音である」がホントかウソか（真か偽か）を確かめるには、どのカードをめくればいいでしょうか？
　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ３ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline ６ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline Ｔ \\ \hline\end{array}}$$　　　$${\begin{array}{|c|} \hline Ａ \\ \hline\end{array}}$$

《解説》
Ｐ：カードの片面が偶数　　Ｑ：カードの片面が母音　　とする。
「偶数の裏は母音である」を論理式で書くと「Ｐ ⇒ Ｑ」となる。
さて、「Ｐ ⇒ Ｑ」の真理値は下表のようになる。
（表の 1 は 真 を、0 は 偽 を表す）

表で「Ｐ ⇒ Ｑ」の欄が 0 になっているのは表の２行目だけだから、Ｐ が 真 のときと Ｑ が 偽 のときだけを調べれば十分である。
Ｐ が 真 のときというのは「片面が偶数」のときだから、「６」のカードにあたる。
Ｑ が 偽 のときというのは「片面が子音」のときだから、「Ｔ」のカードにあたる。
「偶数の裏は母音である」がウソといえるのは、「６」の裏が子音のときか「Ｔ」の裏が偶数のときだけである。

以上の説明で十分なはずだが、念のため「３」と「Ａ」のカードについても確認してみよう。
「３」は奇数 すなわち Ｐ＝0 だから、表の３行目と４行目をみると「Ｐ ⇒ Ｑ」はどちらも 1 。
「Ａ」は母音 すなわち Ｑ＝1 だから、表の１行目と３行目をみると「Ｐ ⇒ Ｑ」はどちらも 1 。
つまり「３」と「Ａ」のカードは、めくって何が出ても「偶数の裏は母音」の正しさは揺らがない。

まだ信じない人のために、試しに「Ａ」のカードをめくってみることを考えよう。
もし「Ａ」の裏面が偶数だったら、「偶数の裏が母音」だということになり文句なく正しい。
もし奇数なら「奇数の裏が母音」ということになるが、「偶数の裏は母音」が間違っていることにはならない。
結局のところ、「Ａ」をめくって何が出ても「偶数の裏は母音」は正しい。
だから、めくっても無駄なのだ。

《 答え 》
「６」と「Ｔ」の２枚のカードをめくればよい。

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〜 論理クイズ 〜　
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