【定期投稿】１分でゲーム理論.013/戦略形ゲーム/均衡点の存在(不動点定理)

01.戦略形ゲーム

均衡点の存在

012では前提となる最適応答対応を定義した。ここから先はいよいよナッシュ均衡点の存在定理を証明していく。その概要を少しだけ紹介すると、ナッシュ均衡点は解析学における不動点(fixed point)に等しく、その不動点の存在定理である角谷の不動点定理(Kakutani 1941)を用いて、ナッシュ均衡点の存在定理を証明する。

＊ナッシュ均衡と不動点
戦略形$${n}$$人ゲーム$${G}$$において、プレイヤーの混合戦略の組を$${q^*=(q_1^*, q_2^*, \cdots,q_n^* )}$$がナッシュ均衡点であるための必要十分条件は

$${q^*\in B(q^*)}$$

である。そして、これは$${q^*}$$が写像$${B}$$の不動点であることを示している。

＊角谷の不動点定理(の紹介)

$${S}$$を$${r}$$次元ユークリッド空間の凸でコンパクトな部分集合とする。$${F}$$を$${S}$$からそれ自身への点対応集合写像とし、次の2条件を満たすとする。
＜凸性＞
すべての$${x \in S}$$について$${F(x)}$$は$${S}$$の非空な部分集合である。
＜上半連続性＞
$${S}$$内の任意の点列$${\{x_v\}^{\infty}_{v=1}, \{y_v\}^{\infty}_{v=1}}$$において、
$${y_v \in F(x_v), v=1,2,\cdots }$$
$${x_v \rightarrow x, y_v \rightarrow y  (v \rightarrow \infty)}$$
ならば$${y\in F(x)}$$である。

このとき、$${x^*\in F(x^*)}$$となる不動点$${x^*}$$が少なくとも一つ存在する。