【定期投稿】１分でゲーム理論.002/戦略形ゲーム/戦略形ゲームの類型、双行列による表現

01.戦略形ゲーム

戦略形ゲームの諸類型

＊ゼロ和、非ゼロ和、定和ゲーム

$${\sum \limits_{i=1}^n f_i(S_1,S2, \cdots S_n)=0}$$

が成立すればゼロ和ゲーム、成立しなければ非ゼロ和ゲームである。

ゼロ和ゲームは、勝ち負けや交換を繰り返す行為(FXなど)を表すゲームとして知られる。$${0}$$の代わりに実数$${K}$$を用いたものは定和ゲームと呼ばれるが、本質的にはゼロ和ゲームと変わらない。

＊有限ゲーム・無限ゲーム

戦略の集合$${S_i}$$が有限であるゲームを有限ゲーム、無限に存在するものを無限ゲームという。これ以降の記事ではさしあたり有限ゲームを考える。

双行列による表現

プレイヤー1の戦略集合を$${S_1}$$、プレイヤー2の戦略集合を$${S_2}$$として、以下のように双行列(利得行列)で表現することが出来る。

$${A＝\begin{pmatrix}(a_{11},b_{11})& \cdots & (a_{1n},b_{1n})\\ \vdots &(a_{ij},b_{ij}) & \vdots\\(a_{m1},b_{m1})& \cdots &(a_{mn},b_{mn}) \\\end{pmatrix}}$$

$${S_1=\{1, 2,\cdots, m\}}$$
$${S_2=\{1, 2,\cdots, n\}}$$

プレイヤー1は行を選択し、プレイヤー2は列を選択する。
特にゼロ和ゲームにおいては、$${b_{ij}=-a_{ij}}$$であるので、簡便のためにプレイヤー1の利得のみ表記することがある。そのとき、プレイヤー1はこの利得行列$${A}$$を最大化し、逆にプレイヤー2は最小化させるように行動する。そのため、プレイヤー1は最大化プレイヤー、プレイヤー2は最小化プレイヤーと呼ばれることがある。