平面 S: z=ax+by+c に垂直で, z=0 を共有する平面

平面 $${S: z=ax+by+c}$$ に垂直で, $${z=0}$$ を共有する平面

平面を変形して

$$
0=ax+by-z+c
$$

この平面の法線ベクトルは $${\vec{v}=(a,b,-1)}$$

$${z=0}$$ の直線は

$$
0 =ax+by+c \\
y(x)=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
$$

直線をベクトルで書く

$$
\vec{l}=(1, y(1)-y(0), 0)=(1, -\frac{a}{b}, 0)
$$

$${\vec{v}, \vec{l}}$$ に垂直なベクトル

$$
\vec{h}=\vec{v}\times\vec{l}=(e, f, g)
$$

このベクトルを法線に持つ面は, 次のように書ける

$$
S': 0=ex+fy+gz+k = \vec{h}\cdot(x, y, z) + k
$$

この面は $${y(x)}$$ 上の任意の点を共有する ($$(0, y(0), 0)$$ とする)

$$
k = -(e, f, g) \cdot (0, y(0), 0) \\
=-\vec{h}\cdot(0, -\frac{c}{b}, 0)
$$