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信号検出理論の説明 (type 1 task)

N.

例えば心理学の領域で使われる信号検出理論（SDT: Signal Detection Theory）って何かというと，例えば今見ている写真が以前見たものであるか否かを判断するような，観察者が特定の刺激 (signal)がある (present)かない (absent)かを区別するプロセスをモデル化したもの。観察者のsignalか否かを区別する能力（＝弁別力）とバイアスを独立に測定することができるというメリットがある。

基本的には3つの仮定があって，

  • 外から刺激が入力された際にその刺激に対応する心理量が生じる。

  • その刺激がsignalである場合はsignalでない（＝noise）場合よりも生じる心理量が大きい。

  • 生じる心理量は一定ではなく誤差があるが，この誤差は正規分布し，刺激がsignalの時とnoiseの時とで同じ分散となる（＝等分散）。

これは次のように表される（図1）。

図1  正規性と等分散性が仮定された心理量の分布。N分布: 刺激がnoiseである時の分布（波線）。SN分布: 刺激がsignalである時の分布（実線）。

さらに，ある一定量以上の心理量が生じた場合はsignalがある (present)と判断し，一定量未満の心理量の場合はsignalがない (absent)と判断する基準があるとする。これは次のように表され，それに応じて観察者の反応は4つに分けることができる（図2）。ただし，図1のN分布とSN分布の配置では反応タイプが重なる部分があるため，明確さを考慮して各分布を別々に配置した（実際は図1のような配置となる）。言い忘れていたけど，この分布は確率密度関数であることに注意（各面積が確率を表す）。

図2  観察者の判断基準と反応タイプ。Hit: 刺激がsignalである時にsignalと判断。False Alarm: 刺激がnoiseである時にsignalと判断。Miss: 刺激がsignalである時にnoiseと判断。Correct Rejection: 刺激がnoiseである時にnoiseと判断。

これらの反応タイプは実際の実験からその確率が算出される（表1）。

表1  反応タイプのマトリックス。

さて，弁別力はN分布とSN分布が心理量的にどれだけ離れているか，すなわちN分布とSN分布間の距離として考えられ，感度 (sensitivity)の指標である"d'（ディー・プライム）"で表される。同時に，観察者の判断基準がどれだけ偏っているのか（＝バイアス）を表す指標であるc (criterion)も独立に考えることができる（図3）。

図3  d’とcriterion。N分布とSN分布の交点に位置する点がバイアスの基準値（黒縦波線）。判断基準がこの基準値からどれだけズレているかがバイアスを示す（黒縦波線から青縦波線までの距離）。

感度: d'

N分布とSN分布間の距離は各分布での心理量の平均値の差で考えることができるので，

d' = (SN分布における心理量の平均値) - (N分布における心理量の平均値) … (1)

となる（厳密にはこれをN分布の標準偏差で除するのだが，慣例的に両分布の標準偏差は1とされているので無視してよい）。

ここで，Hit率とFA率を標準化する（厳密には，正規分布の逆関数を考える）と各分布の心理量の平均値から判断基準までの距離がわかる（図4）。

図4  各分布と確率の標準得点の関係の例。p(H)の領域とp(FA)の領域は重なっていることに注意。

判断基準の位置を基準に見ると，SN分布における心理量の平均値はz(p(H))だけ離れた位置に，N分布における心理量の平均値はz(p(FA))だけ離れた位置にあることがわかる。なお，図4のような場合にはN分布における心理量の平均値が判断基準よりも左側（負の方向）に位置していることからz(p(FA))は負の値となることがわかるが，この点は図5も参考にされたい。

図5  確率密度に関する参考図。

したがって，式(1)は 次のように表すことができる。

d' = z(p(H)) - z(p(FA))

d' が大きいほど感度が高い（＝弁別力が高い）ことを表し，d' = 0はチャンスレベルである（signalとnoiseの区別ができていない）ことを表す。
（基本的には，d' ≧ 0）

図4を見ると，単純に d' = |z(p(H))| + |z(p(FA))| でよくないかとも思えるが，例えば判断基準がSN分布における心理量の平均値の位置よりもさらに右にあった場合を考えてみると，単なる絶対値の和では一般化できないことがわかる。

（余談だが，d'のdは"discriminability index"のdだとか（要出典））

反応バイアス: c (criterion)

バイアスの指標であるc (criterion)は観察者の判断基準がN分布とSN分布の交点となる位置からどれだけ離れた位置にあるかを表す。
（criterionという名称でありながら，正確にはN分布とSN分布の交点と判断基準間の距離を示していることに注意 → criterionは図3の青縦波線そのものではなく，黒縦波線と青縦波線間の距離を表す）

これは判断基準がN分布とSN分布の交点（＝d'/2）からどれだけズレた位置にあるかを考えればいい（← 結局は判断基準の位置を求めることなのだが）。図4から，

  • z(p(H)) = d'/2 - (判断基準)

  • z(p(FA)) = -(d'/2 + (判断基準))

であることがわかるので，次のような式でcを求めることができる。

c = -1/2 × [z(p(H)) + z(p(FA))]

c = 0は判断基準がN分布とSN分布の交点に位置する，すなわちバイアスがないことを示す。

c > 0の場合は保守的 (conservative)なバイアス，すなわちsignalではなかった (absent)と判断しがちなバイアスであることを示す。

c < 0の場合はリベラル (liberal)なバイアス，すなわちsignalであった (present)と判断しがちなバイアスであることを示す。

おまけ

signalがpresentかabsentかを判断する課題はタイプ１の課題（type 1 task）と分類され，上記の各パラメータは全てtype 1 のものとなる。type 1 での判断に対する確信度，すなわちどれだけの自信を持ってpresent/absentと言えるのかを評価する課題がタイプ２の課題（type 2 task）となる。type 2 taskにおけるSDTは別の機会にまとめたい。

また，今回取り扱ったものは等分散・正規分布を仮定したモデルであることにも注意されたい。

（ここ間違ってるよーという点があったらご指摘ください）

参考文献

  • Macmillan, N. A., & Creelman, C. D. (2005). Detection theory: A users guide (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates, Inc., US: New York.

  • 草薙邦広・ 後藤亜希 (2015). 「外国語教育研究と信号検出理論」, 外国語教育メディア学会 (LET)関西支部 メソドロジー研究部会2015年度 第8号報告論集，pp.20–36.

  • とある基礎系心理学者. (2022). #14-S　わかりやすく！信号検出理論. https://note.com/toaru_gakusya/n/n844ff85d2e8d

  • Chandler, J. (2013). Signal Detection Theory October 10, 2013 Some Psychometrics! Response data from a perception experiment is usually organized in the form of a confusion. https://slideplayer.com/slide/7704409/



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