有限母集団修正とは

有限母集団修正

有限母集団修正（FPC）は、非復元抽出における分散の推定値を修正し、より正確な推定を可能にするために使用されます。FPCは、母集団の大きさ$${N}$$とサンプルサイズ$${n}$$の関係を考慮して計算されます。
有限母集団修正は以下の式で表されます。

$$
Var(\bar{x}_{norep})=\frac{N-n}{N-1}Var(\bar{x}_{rep})
$$

• $${Var(\bar{x}_{norep})}$$は非復元抽出におけるサンプル平均の分散

• $${Var(\bar{x}_{rep})}$$は復元抽出におけるサンプル平均の分散

FPCの意味

​ $${\frac{N-n}{N-1}}$$は、サンプルサイズが母集団サイズに比べて小さい場合、1に近い値になります。この場合、非復元抽出の影響は小さく、分散は復元抽出の場合とほぼ同じになります。しかし、サンプルサイズが母集団サイズに対して大きい場合、FPCの値は0に近づき、非復元抽出の分散は復元抽出の場合よりも顕著に小さくなります。

FPCの適応理由

FPCを適用する主な理由は、非復元抽出において、一度選ばれた要素が再び選ばれる確率が0になることを考慮し、抽出される要素間の相関（依存性）を反映させるためです。これにより、非復元抽出の実際の状況をより正確に反映した分散の推定が可能になります。

相関の影響

分散の低下・・・復元抽出においては、要素間の相関が生じることで、サンプル内の変動（分散）が復元抽出に比べて小さくなります。これは、一部の要素が抽出から排除されることで、サンプル間での多様性が減少し、結果として分散が低下するためです。

まとめ

非復元抽出における相関の発生は、統計分析を行う際に重要な考慮事項となります。特に、サンプルサイズが母集団に対して大きな割合を占める場合、相関による分散の低下は顕著になります。その場合、$${\frac{N-n}{N-1}}$$からも分かるように、復元抽出による本来の分散により強い修正がかかり、非復元抽出による分散の低下を反映できます。