行動科学特論 高橋泰城 7/28 授業ノート
今回も前回と同じく院試の過去問を解きながら量子力学の基礎を身につける
院試過去問(続き)
東北大2021年3月専門科目物理専門
（ｂ）
$${k=\frac{n\pi}{\delta}(n∈\mathbb{Z})}$$
と
A=-B
より、波動関数
$${\psi_Ⅰ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}}$$
は、
$${\psi_Ⅰ(x) = Ae^{\frac{in\pi x}{\delta}} - Ae^{-\frac{in\pi x}{\delta}} }$$
$${ → \psi_Ⅰ(x) = A(e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}) }$$
（3）ここで、波動関数の規格化を行うと、
$${ \int^{\infty}_{-\infty} |\psi_Ⅰ(x)|^2dx = 1 }$$
より、
$${\int^{\delta}_{0} |A(e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}) |^2dx}$$
$${=|A|^2\int^{\delta}_{0} |e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}|^2dx}$$
ここで、
$${ e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{\frac{-in\pi x}{\delta}} }$$
$${= (\cos(\frac{in\pi x}{\delta}) + i\sin(\frac{in\pi x}{\delta}) ) - ( \cos(\frac{-in\pi x}{\delta}) + i\sin(\frac{-in\pi x}{\delta}) ) }$$
$${= (\cos(\frac{in\pi x}{\delta}) + i\sin(\frac{in\pi x}{\delta}) ) - ( \cos(\frac{in\pi x}{\delta}) + -i\sin(\frac{in\pi x}{\delta}) ) }$$
$${= 2i\sin(\frac{in\pi x}{\delta}) }$$
より、
$${|A|^2\int^{\delta}_{0} |e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}|^2dx}$$
$${= |A|^2\int^{\delta}_{0} |2i\sin(\frac{n\pi x}{\delta})|^2 dx}$$
$${= 4|A|^2\int^{\delta}_{0} \sin^2(\frac{n\pi x}{\delta}) dx}$$
iどこいった！？
→追記：いやそりゃ絶対値のなかですしおすし
ここで、
$${ \int \sin^2Axdx = \frac x2−\frac14 \sin(2x) +C}$$
というのも、下の写真の証明で、xをAxとして同様の証明ができるためである
$${ \int \sin^2{Ax}dx}$$
=$${ \int \frac{\cos{2Ax}}{2} dx}$$
=$${ \int \frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}\cos{2Ax}dx}$$
=$${ \int \frac{1}{2}dx - \frac{1}{2} \cos{2Ax}dx}$$
https://mathwords.net/sinnijosekibun
よって、
$${= 4|A|^2 [ \frac{n\pi x}{2\delta} - \frac{\sin(2n \pi x/ \delta)}{4n \pi / \delta} ]^\delta _0 }$$
$${ = 2n \pi |A|^2 -0}$$
$${ = 2n \pi |A|^2 }$$
したがって、
$${ 2n \pi |A|^2 =1}$$
→$${ |A| = \sqrt{\frac{1}{2n \pi}}}$$
→$${ A = \sqrt{\frac{1}{2n \pi}} }$$
どうやって絶対値(？)を外す？
「Aにe^iθをかけたものも出てくるが、確率を考える上では実数だけ考えればよい」（ヨビノリ）
よって、
$${ \psi(x) = A(e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}) }$$
より、
$${ = \sqrt{\frac{1}{2n \pi}}(e^{\frac{in\pi x}{\delta}} - e^{-\frac{in\pi x}{\delta}}) }$$
$${= \sqrt{\frac{2}{n \pi}} i\sin\frac{n\pi }{\delta}x }$$
が求める波動関数-[答]
また、問題文より、
$${ k = \sqrt{ \frac{2m \epsilon }{\hbar} } }$$
→$${ \epsilon = \frac{ {\hbar}^2 k^2 }{2m} }$$
そして、
$${k=\frac{n\pi}{\delta}(n∈\mathbb{Z})}$$
なので、
→$${ \epsilon_n = \frac{ {\hbar}^2 \pi^2 }{2m\delta} n^2}$$
が、求めるエネルギー固有値-[答]
エネルギー準位とエネルギー固有値は別物？
エネルギー固有値の並びのことをエネルギー準位と呼びます。
基底状態E_0、励起状態E_1、E_2、…
という感じです。
エネルギー準位を求めろと言われたら普通はエネルギー固有値を全て求めろ、ということです。
例えば量子数nを用いてE_nの表式が得られたらそれが答えです。
エネルギー固有値を求める問題と解答手順は同じになるかと。
(c)
波動関数に対する粒子の位置の期待値は、
$${ \langle x \rangle = \int \psi^*(x) x \psi(x) dx }$$
と定義される
よって、先程求めた波動関数を代入すると、
$${= \int^{\delta}_0 \{ ( - \sqrt{\frac{2}{n \pi}} i\sin\frac{n\pi x}{\delta} ) x (\sqrt{\frac{2}{n \pi}} i\sin\frac{n\pi x}{\delta} ) \}dx}$$
$${= \frac{2}{n \pi} \int^{\delta}_0 ( \sin\frac{n\pi x}{\delta} ) x (\sin\frac{n\pi x}{\delta} ) \}dx}$$
$${ = \frac{2}{n \pi} \int_0^\delta x \sin^2\frac{n\pi x}{\delta} dx}$$
ここで、
$${\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$$
より、
$${= \frac{1}{n \pi} \int_0^\delta x \left(1 - \cos\frac{2n\pi x}{\delta}\right) dx}$$
$${\frac{1}{n \pi} \left[ \int_0^\delta x dx - \int_0^\delta x \cos\frac{2n\pi x}{\delta} dx \right]}$$
ここで、積分$${ \int_0^\delta x dx }$$は
$${ \int_0^\delta x dx = \frac{1}{2} \delta^2 }$$
二つ目の積分$${ \int_0^\delta x \cos\frac{2n\pi x}{\delta} dx }$$は、部分積分を用いることで計算でき
$${ \int_0^\delta x \cos\frac{2n\pi x}{\delta} dx = \left[ x\frac{\delta }{2n\pi} \sin\frac{2n\pi x}{\delta} \right]_0^\delta - \int_0^\delta \frac{\delta}{2n\pi} \sin\frac{2n\pi x}{\delta} dx }$$
$${\sin\frac{2n\pi x}{\delta} }$$は周期関数であり、x = 0とx = δでその値は0
したがって、上式の右辺の第1項は0
同様に、第２項を計算すると、
$${ - \int_0^\delta \frac{\delta}{2n\pi} \sin\frac{2n\pi x}{\delta} dx }$$
$${= - \int_0^\delta \sin\frac{2n\pi x}{\delta} dx = -\left[ -\frac{\delta}{2n\pi} \cos\frac{2n\pi x}{\delta} \right]_0^\delta = 0 }$$
したがって、元の積分は、
$${ \frac{1}{n \pi } \left[ \frac{1}{2}\delta^2 - 0 \right] =\frac{\delta^2}{2n\pi}}$$
で、これが求める、波動関数に対する粒子の位置の期待値-[答]
(2)
(a)波動関数を求めよ.
シュレディンガー方程式は、
$${ \{ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \} \psi(x) = E\psi(x) }$$
であり、問題文よりV(x)=0, ε>0なので、
$${ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = \epsilon \psi(x) }$$
のように与えられる。ここで、
$${ k = \sqrt{ \frac{2m \epsilon}{\hbar^2} } }$$
ととすると、シュレディンガー方程式は、
$${ \frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = -k^2 \psi(x) }$$
と書き換えられ、この一般解は、定数A, Bを用いて次のように書ける
$${ \psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} }$$-[答]
これが、求める波動関数である。
(b)波動関数が定数になる場合を除いたエネルギー固有値の最小値を求めよ.
周期境界条件
$${ \psi(x) = \psi(x + \delta) }$$
より、
$${ e^{ikx} = e^{ik(x + \delta)} }$$
となり、
$${e^{ik \delta } = 1}$$
となる。よって、任意の整数nを用いて
$${ k = \frac{2\pi n}{\delta} }$$
と書ける。
$${ k = \sqrt{ \frac{2m \epsilon}{\hbar^2} } }$$
であるから、エネルギー準位は、
$${ \epsilon_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}(\frac{2\pi n}{\delta})^2 (n = 0, \pm1, \pm2, …)}$$
ここで、波動関数
$${ \psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} }$$
が定数になる場合は、
$${ n = 0, \pm1, \pm2, …}$$
よって、エネルギー固有値の最小値は、
n=0の場合で、
$${ \epsilon_0= \frac{\hbar^2}{2m}(\frac{2\pi n}{\delta})^2 =0}$$
？？？
$${ \epsilon_{\pm1}= \frac{4\pi n^2\hbar^2}{2m\delta^2} }$$
かも？？？
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