難問数学問題

問題：

次の不定積分を求めよ：

[ \int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} , dx ]

回答は以下に記載⤵

この積分を解くには、まず積分される関数の被積分関数（分子）を分母で割ることから始めます。これにより、次のように積分を簡単化することができます。

[ \int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} , dx ]

まず、分数の除法を行います。分子 (x^3 + 2x^2 + x + 1) を分母 (x^2 + x + 1) で割ります。

1. 最初に (x^3) を (x^2 + x + 1) で割ります。商は (x) です。

2. 次に、 (x \cdot (x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x) を引きます。残りは ((2x^2 + x + 1) - (x^3 + x^2 + x) = x^2 + 1) です。

3. 次に (x^2) を (x^2 + x + 1) で割ります。商は (1) です。

4. 最後に、 (1 \cdot (x^2 + x + 1) = x^2 + x + 1) を引きます。残りは ((x^2 + 1) - (x^2 + x + 1) = -x) です。

これで、分母で割った結果は次のようになります。

[ \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} = x + 1 + \frac{-x}{x^2 + x + 1} ]

したがって、積分は次の形に変形されます：

[ \int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} , dx = \int (x + 1 + \frac{-x}{x^2 + x + 1}) , dx ]

ここで、積分を3つの部分に分けることができます：

[ \int x , dx + \int 1 , dx + \int \frac{-x}{x^2 + x + 1} , dx ]

それぞれの積分を求めます。

1. 最初の積分：

[ \int x , dx = \frac{x^2}{2} ]

1. 2番目の積分：

[ \int 1 , dx = x ]

1. 最後の積分：

[ \int \frac{-x}{x^2 + x + 1} , dx ]

この積分を行うために、分母の (x^2 + x + 1) の微分 (2x + 1) を用います。ここで部分積分を適用するか、 (u)-置換を行います。 (u = x^2 + x + 1) と置くと、

[ du = (2x + 1) , dx ]

この方法を用いると、元の積分 ( \int \frac{-x}{x^2 + x + 1} , dx ) は次の形に変わりますが、ここでは直接解答結果を提供します：

[ -\int \frac{x}{x^2 + x + 1} , dx = -\frac{1}{2} \ln|x^2 + x + 1| ]

したがって、全体の積分は次のようにまとめられます：

[ \int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} , dx = \frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2} \ln|x^2 + x + 1| + C ]

ここで、 (C) は任意定数です。

結論として、不定積分の解は：

[ \boxed{\int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} , dx = \frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2} \ln|x^2 + x + 1| + C} ]