曲面論を学びたい 4日目（球面のガウス曲率の計算）

ついに4日目ですね！！続いててえらい！

今日は曲面のパラメーター表示とは何ぞやという話をしようかと思ってたんですが、なんかダラダラとした話が続きそうだったので先に具体例を計算してみようと思います。

思い出すと、「曲面のパラメーター表示 → 第二基本形式 → 主曲率 → ガウス曲率」という流れで定義してそうだということでした。

$${\mathbb{R}^3}$$内で原点を中心とする半径1の球面を考えましょう。

緯度と経度をパラメーターに取ることにします。今回はそれぞれに$${u}$$と$${v}$$という記号を使ってみます。そうすると、パラメーター表示は、

$$
r(u,v) = (\cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u)
$$

のような形になります。本来はこれが正則なパラメーターであるかどうかを確認しないといけないですが、それは後で見ることにして、いったん計算を進めます。

計算を進めるにあたって、$${r}$$の偏微分が出てきています。微分した変数の名前を右下に書くことにしましょう。例えば、$${r}$$の各成分を$${u}$$で微分したものを$${r_u}$$のように書くことにします。$${r_{uv}}$$なら、$${r_u}$$を$${v}$$で微分したもののことを指します。

計算してみると、以下のようになります：
$${r_u = (-\sin u \cos v, -\sin u \sin v, \cos u)}$$
$${r_v = (-\cos u \sin v, \cos u \cos v, 0)}$$
$${r_{uu} = (-\cos u \cos v, -\cos u \sin v, -\sin u)}$$
$${r_{uv} = (\sin u \sin v, -\sin u \cos v, 0)}$$
$${r_{vv} = (-\cos u \cos v, -\cos u \sin v, 0)}$$

これで必要な情報はそろったはずです。計算を進めていきましょう。

まず、単位法線ベクトル$${n}$$を計算します。ベクトル$${\vec{p} = (a,b,c)}$$と$${\vec{q} = (x,y,z)}$$の外積は、$${\vec{p} \times \vec{q} := (bz-cy, -az+cx, ay-bx)}$$で与えられるのでした。頑張って計算すると、

$$
\begin{array}{lll}
r_u \times r_v &=& (0 - \cos^2 u \cos v, 0 - \cos^2 u \sin v, -\sin u \cos u \cos^2 v - \sin u \cos u \sin^2 v)\\
& =& (-\cos^2 u \cos v, -\cos^2 u \sin v, - \sin u \cos u)\\
& = & -\cos u \cdot (\cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u )\\
&=& -\cos u \cdot r(u,v)
\end{array}
$$

という感じになります。これをベクトルの長さで割りたいわけですが、$${r(u,v)}$$は原点を中心とする半径1の球面をパラメーター表示したものだったので、$${|r(u,v)| = 1}$$となります。
(実際に計算して確かめてみても、

$$
\begin{array}{lll}
|r(u,v)|^2 &=& \cos^2 u \cos^2v + \cos^2 u \sin^2 v + \sin^2 u \\
&=& \cos^2 u( \cos^2 v + \sin^2 v) + \sin^2 u \\
&=& \cos^2 u + \sin^2 u = 1
\end{array}
$$

のようになります。)

$${u}$$は緯度だったので、$${-\displaystyle\frac{\pi}{2} < u < \frac{\pi}{2}}$$だとしておきましょう。そうすると、$${\cos u}$$の部分は正になります。よって、

$$
n = \displaystyle\frac{r_u \times r_v}{|r_u \times r_v|} = \frac{-\cos u \cdot r(u,v)}{\cos u} = - r(u,v)
$$

と計算できました。観察してみると、球面なので法線を引くと中心を通る直線になるはずで、この場合は中心に向かう方向のベクトルになっています。正しく計算できていそうな気がします。

次に、$${L, M, N}$$を計算していきましょう。これは今までの計算を見ながらゴリゴリやっていけばよさそうで、

$$
\begin{array}{lll}
L &=& r_{uu} \cdot n \\
&=& -r_{uu} \cdot r\\
&=& \cos^2 u \cos^2 v + \cos^2 u \sin^2 v + \sin^2 u\\
&=& \cos^2 u (\cos^2 v + \sin^2 v) + \sin^2 u\\
&=& \cos^2 u + \sin^2 u = 1
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{lll}
M &=& -r_{uv} \cdot r\\
&=& -\sin u \sin v \cos u \cos v +\sin u \cos v \cos u \sin v = 0
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{lll}
N &=& -r_{vv} \cdot r\\
&=& \cos u \cos v \cos u \cos v + \cos u \sin v \cos u \sin v\\
&=& \cos^2 u \cos^2 v + \cos^2 u \sin^2 v = \cos^2 u
\end{array}
$$

という感じで計算できて、第二基本形式は、
$${I\!I = du^2 + \cos^2 u dv^2}$$
となりそうです(合ってるんかな？)。次にやるべきことはこれを用いて主曲率を決定することで、そのときに「$${du^2}$$」などの意味も軽く説明したいと思います。

そろそろ力尽きてきたので今日はここまで…曲面ギャラリーもまた気力のあるときにやります…！ また明日！！