曲面論を学びたい 3日目

三日坊主になる権利を得ましたね…

今日は曲面のガウス曲率を調べてみます。とりあえずWikipediaを見てみると、ガウス曲率は「与えられた点での主曲率$${\kappa_1}$$と $${\kappa_2}$$の積である」と書いてあります。そうすると、主曲率とは何ぞやという話になりそうです。

次に主曲率のページを見てみるとこんな感じのことが書いてあります：

$${M}$$を第二基本形式$${I\! I ( X , Y )}$$を持つユークリッド空間内の曲面とし、点$${p∈M}$$と$${p}$$での接ベクトルの正規直交基底$${X_1}$$と$${X_2}$$を固定すると、主曲率は対称行列
$${I\! I_{i j} = \begin{pmatrix} I\! I ( X_1 , X_1 ) & I\! I ( X_1 , X_2 ) \\ I\! I ( X_2 , X_1 ) &I\! I ( X_2 , X_2 ) \end{pmatrix}}$$
の固有値である。

Wikipedia日本語版「主曲率」より(一部記述を改変)

結論としては、とにかくなんらかの行列があって、その固有値が主曲率だと言っているようです。この行列は第二基本形式というものをもとに作っているみたいですね。たらい回し感がすごいですが、今度は第二基本形式を調べてみます。ここが第二基本形式のページです。いっぺんに引用しづらかったのでまとめてみると、大体次のようなことをするようです：

• $${u}$$と$${v}$$をパラメーターとして曲面$${M}$$を表示しておく。このとき、$${(u,v)}$$は正則なパラメーターであるとする。

• そうすると、$${r = r(u,v)}$$というベクトル値関数を用いて曲面を表すことができる。

• $${n := \displaystyle\frac{r_u \times r_v}{|r_u \times r_v|}}$$とおく。これは$${M}$$の単位法線ベクトルになる。

• $${L := r_{uu} \cdot n}$$, $${M := r_{uv}\cdot n}$$, $${N := r_{vv} \cdot n}$$とおく。

• すると、第二基本形式は、
  $${I\!I := L\, du^2 + 2M\, du\,dv + N \, dv^2}$$
  で与えられる。

ここまで読むと、「曲面をパラメーターで表示しておくと、それを用いてガチャガチャやると第二基本形式というものを定義することができて、そこから主曲率が定まり、最後にガウス曲率が定まる」という感じになっていそうです。まだ何をやるかちゃんと説明できていないので、今後はこれを見ながらいろいろ計算しつつ理解を深めていく感じでやっていこうと思います。

今日の曲面

定義を調べるためにたらい回しされているだけだとちょっとアレかな…と思ったので、(今後使いたいという気持ちも込めて)曲面の図を生成して載せてみます。とりあえず1日に高々ひとつくらいのペースで…

放物面

$${z = x^2 + y^2}$$で与えられる曲面です(係数はいろいろ変えてもよさそう)。パラメーター表示は、例えば$${(u,v)}$$を実数のパラメーターとして、$${(x,y,z) = (u,v,u^2+v^2)}$$で与えられます。($${x,y}$$がパラメーターだと思ってもよさそうです。)
$${-1 \leq u \leq 1}$$, $${-1 \leq v \leq 1}$$の範囲で描画してみるとこんなです。(Manimを使って描画しています)

放物面

次回からは曲面のパラメーター表示を見ていくことにしましょう。それでは！