曲面論を学びたい 5日目（球面のガウス曲率の計算の続き）
寝るまでは今日…！
さて、球面のガウス曲率の計算でした。昨日は球面の第二基本形式を計算したのでした：
$${I\!I = du^2 + \cos^2 u dv^2}$$
これを用いて主曲率を計算しようと思ったのですが、$${du^2}$$とはなんなのかを説明しながら計算するのは非常に厳しいということが分かったので、ここからは説明なしで計算結果だけモリモリ書くことにしてしまいます。
====ここから計算====
まず、$${u}$$方向の接ベクトルは$${r_u = (-\sin u \cos v, -\sin u \sin v, \cos u)}$$、$${v}$$方向の接ベクトルは$${r_v = (-\cos u \sin v, \cos u \cos v, 0)}$$だった。$${|r_u| = 1}$$、$${|r_v| = |\cos u| = \cos u}$$、$${r_u \cdot r_v = 0}$$であるから、$${r_u}$$と$${\displaystyle\frac{r_v}{\cos u}}$$が$${(u,v)}$$における球面の接平面の正規直交基底をなす。そうすると、主曲率は、
$${\begin{pmatrix}du^2(r_u,r_u) & 0 \\ 0 & \cos^2 u \, dv^2 (\frac{r_v}{\cos u}, \frac{r_v}{\cos u})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \cos^2 u \cdot \frac{1}{\cos^2 u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}}$$
という行列の固有値だから、$${1}$$がふたつである。ガウス曲率はその積だから、$${1}$$である。
====ここまで====
ググった情報(半径の2乗の逆数)と同じ結果が出ましたね！やったぜ！
……ということで、明日からはこのあたりの計算がいったい何者なのか、順を追って解説していきたいと思います…。
今日の曲面
みんな大好きトーラスです！
Manimはアニメーションが作れるはずなんですが、カメラの動かし方がよくわかりませんでした。
トーラスは$${(x,y,z) = ((\cos u + 3)\cos v, (\cos u + 3)\sin v, \sin u)}$$とパラメーター表示しています。
まず$${xz}$$平面内にで$${(3,0)}$$を中心とした半径1の円を描くと、$${(x,z) = (\cos u + 3, \sin u)}$$となります。次に、これを$${z}$$軸中心に$${v}$$回転させます。すると、上のパラメーター表示が得られるわけです。
トーラスは曲面論でもよく出てくるのではないかという気がしますが、果たしてどうでしょうか…？