電験3種 2021年度 理論 問2 電荷に働く力と誘電率

2つの電荷の間に働く力が，空間の誘電率によってどう変わるかという問題です。

（前提1）2つの電荷の間に働く力

2つの電荷に働く力の大きさは
F＝（1/4πε）×（Q1×Q2/r^2）
となります。電荷が大きいほど，距離が近いほど，誘電率が小さいほど力が大きくなります。しかも距離は2乗で効きます。
力の向きは正負が同じ電荷なら反発する向き，正負が異なる電荷なら引き合う向きです。

（解法1）式を使って計算する

式を覚えていれば当てはめるだけです。

真空中のとき
真空の誘電率はε0なので，力をF0とすると
F0＝（1/4πε0）×（Q1×Q2/r^2）
となります。

比誘電率2の液体中のとき
誘電率ε＝真空の誘電率ε0×比誘電率εrなので，ε＝ε0×2となり，力をF2とすると
F2＝（1/8πε0）×（Q1×Q2/r^2）
になります。

求めたいのは力が液体中で真空中の何倍になるかなので，F2÷F0＝1/2となり，解答は（3）です。電荷の正負が変わらないので，当然力の向きは変わりません。

（解法2）式を覚えていなかったら

さすがに（前提1）の式は覚えていてほしいのですが，もし忘れてしまった場合は式を使わずに考えましょう。

誘電体で満たしたときに何が変わるのかを示したのが上の図です。
⓵　誘電体の中に電荷を置くと，誘電分極という現象により電荷の周りに正負が反対の電荷が現れます。
②　これにより電荷が打ち消され，電気力線が減ります。電気力線の本数は誘電率に反比例します。誘電率が2倍なら電気力線は1/2です。
③　電気力線の密度は電界の大きさを表すので，電界が弱くなります。電気力線が1/2なら電界も1/2です。
④　電界 [N/C] は+1 [C] の電荷が受ける力 [N] なので，力が小さくなります。電界が1/2なら力も1/2です。
というわけで，解答が求まりました。

（蛇足1）式の意味は？

2つの電荷に働く力の大きさの式
F＝（1/4πε）×（Q1×Q2/r^2）・・・⓵
ですが，4πとかrの2乗とか，どこからでてきたのでしょう？

まず，Q1から出た電気力線によってQ2の位置にできる電気力線の密度を考えます。

電気力線は四方八方に均等に出ていくので，電荷から離れるほど電気力線の密度が小さくなりますが，電荷を中心とする球面上では電気力線の密度が等しくなります。したがってQ2の位置での電気力線の密度を求めるには，Q1から出る電気力線の本数をQ2を通る球面の表面積で割ればいいことになります。

電束の定義から電荷の大きさと電束の本数は等しく，電束の本数＝ε×電気力線の本数なので，電気力線の本数はQ1/εになります。
Q1を中心としてQ2を通る球面は半径がQ1とQ2の距離rになるので，表面積は4πr^2です。
したがって，Q2の位置での電気力線の密度は（Q1/ε）÷（4πr^2）[本/m^2] になります。

電気力線の密度は電界の大きさなので，電界の大きさが（Q1/ε）÷（4πr^2）[N/C] とも言えます。そこでこの電界によりQ2に働く力を求めます。

電界E [N/C] の中に電荷Q [C] を置くと，力F [N} ＝E [N/C] ×Q [C] が働きます。これをQ2に当てはめると，
F＝（Q1/ε）÷（4πr^2）×Q2・・・②
です。

⓵式と②式を見比べると係数の順番は違いますが，同じ式になっているのがわかります。4πr^2は球面の表面積を表しているのです。