9と3の倍数

　昨日の倍数の件が面白かったので、ボンヤリと考察。

まず、９の倍数。

なぜ、各位の和が９で割り切れると９の倍数になるのか？

試しに９の倍数を並べてみると・・・

9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，99，108・・・

おお～。本当だ。全部、その通りになってる。
これは・・・

ほとんどの数が十の位が１つ上がると一の位が１つ下がる

という特徴があるな。
99の場合は、十の位が1つ増えない代わりに一の位が9増えてる。

一般化させてみるかな。
仮に、ABCDという4桁の数字で考えると・・・
各位の和が9の倍数であるという数字を一般化すると、
A+B+C+D=9X　として表現できますね。（Xは未知数）

4桁の整数は、下記の式で表せます。

1000A + 100B + 10C + D

で、9の倍数であると仮定し、9で上の式をくくるために細工をしてみると・・・

(999+1)A + (99+1)B + (9+1)C + D
= 9 (111A+11B+C) + (A+B+C+D)

となります。
9 (111A+11B+C)　の部分は、９をかけていますので、必ず９の倍数になります。

ということは・・・
A+B+C+D=9X　の場合、

(999+1)A + (99+1)B + (9+1)C + D
= 9 (111A+11B+C) + (A+B+C+D)
= 9 (111A+11B+C) + 9X
= 9 (111A+11B+C+X)

という風に、９でくくれちゃうことになります・

したがって、各位の和　(A+B+C+D)　が９の倍数であれば、必ず９の倍数となると言うことが出来ます。

次に、３の倍数

3，6，9，12，15，18，21・・・

こちらも９の倍数と同じですね。
各位の和が３の倍数なら３の倍数になります。
９の時と同じようにやってみましょうか。

1000A + 100B + 10C + D

3でくくれるようにするには、3ｘ333+1という感じで9の1/3にする方式ですね。

(999+1)A + (99+1)B + (9+1)C + D
= (3x333+1)A + (3x33+1)B + (3x3+1)C +D
= 3 (333A+33B+3C) + (A+B+C+D)

あとは、９の時と同じ論法で出来上がり、です。

個人的に楽しかったので、他の倍数も考察していこうかな、と思いましたが、時間が押しているので、今日はここまでということで。

ちなみに、

２の倍数は、偶数になる。
５の倍数は、下一桁が０か５になる。

というのは、まあ、単純すぎますね。
４，６，７，８については、今度、時間の合間にでも考察してみます。