東京工業大学2023年度前期入学試験[4]

問題

$${xyz}$$ 空間において, $${x}$$ 軸を軸とする半径 2 の円柱から, $${|y|<1}$$ かつ $${|z|<1}$$ で表される角柱の内部を取り除いたものを $${A}$$ とする.     また, $${A}$$ を $${x}$$ 軸のまわりりに $${45^{\circ}}$$ 回転してから $${z}$$ 軸のまわりに $${90^{\circ}}$$ 回転したものを $${B}$$ とする.     $${A}$$ と $${B}$$ の共通部分の体積を求めよ.

解答

$${A}$$ は

$$
\left\{ \begin{array}{l}
y^2+z^2 \leqq 4 \\
|y| \geqq 1 \,\mathrm{or}\, |z|\geqq 1
\end{array}\right.
$$

を満たす領域である.

点 $${(x,y,z)}$$ を $${z}$$ 軸のまわりに $${90^{\circ}}$$ 回転すると
$${(y,-x,z)}$$ に移る.     さらに, この点を $${x}$$ 軸のまわりりに $${-45^{\circ}}$$ 回転すると $${\displaystyle\left(y,\frac{-x+z}{\sqrt2},\frac{x+z}{\sqrt2}\right)}$$ に移る.     よって, $${B}$$ は

$$
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{-x+z}{\sqrt2}\right)^2+
\left(\frac{x+z}{\sqrt2}\right)^2 \leqq 4 \\[5mm]
\displaystyle \left|\frac{-x+z}{\sqrt2}\right| \geqq 1 \,\mathrm{or}\,
\left|\frac{x+z}{\sqrt2}\right|\geqq 1
\end{array}\right.
$$

を満たす領域である.

$${z=t}$$ $${(-2\leqq t\leqq 2)}$$ のとき $${A\cap B}$$ と平面 $${z=t}$$ の共通部分を $${R(t)}$$, 領域 $${R(t)}$$ の面積を $${S(t)}$$ とおく.     $${R(t)}$$ は次の条件を満たす領域である.

$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\displaystyle -\sqrt{4-t^2}\leqq x\leqq \sqrt{4-t^2}
& \hspace{2cm} & (1) \\[2mm]
\displaystyle x\geqq \sqrt2-|t|\quad \mathrm{or}\quad x\leqq |t|-\sqrt2
& & (2) \\[2mm]
\displaystyle -\sqrt{4-t^2}\leqq y\leqq \sqrt{4-t^2}
& & (3) \\[2mm]
\displaystyle |t|<1 \quad \Longrightarrow |y|\geqq 1
& & (4)
\end{array}
\right.
$$

ここでは領域

$$
\left\{(x,y,t)|a \leqq x \leqq b \,  \& \, c\leqq y\leqq d\right\}
$$

を $${[a,b]\times[c,d]}$$ と表す.

Case-I)     $${\sqrt2\leqq t\leqq 2}$$ のとき, 条件 (2) はすべての $${x}$$ で,
条件 (4) はすべての $${y}$$ で成り立つ.

$$
R(t) = \left[-\sqrt{4-t^2},\sqrt{4-t^2}\right]
\times\left[-\sqrt{4-t^2},\sqrt{4-t^2}\right]
$$

よって $${S(t) = 4(4-t^2)}$$ である.

Case-I')     $${-2 \leqq t\leqq -\sqrt2}$$ のときも $S(t) = 4(4-t^2)$ である.

Case-II)     $${1 \leqq t\leqq \sqrt2}$$ のとき, 条件 (1), (2) より

$$
-\sqrt{4-t^2}\leqq x\leqq -\sqrt2+t\quad \mathrm{or} \quad
\sqrt2-t\leqq x\leqq \sqrt{4-t^2}
$$

条件 (3), (4) より $${-\sqrt{4-t^2}\leqq y\leqq \sqrt{4-t^2}}$$ である.
よって

$$
\begin{array}{lcl}
R(t)&= & \displaystyle\left[-\sqrt{4-t^2},-\sqrt2+t\right]
\times\left[-\sqrt{4-t^2},\sqrt{4-t^2}\right] \\[3mm]
&&\cup\displaystyle\left[\sqrt2-t,\sqrt{4-t^2},\right]
\times\left[-\sqrt{4-t^2},\sqrt{4-t^2}\right]\\[5mm]
S(t)&=&4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)\sqrt{4-t^2}\\[1mm]
&= & 4(4-t^2)+4(t-\sqrt2)\sqrt{4-t^2}
\end{array}
$$

Case-II')     $${\sqrt2 \leqq t\leqq -1}$$ のときも $${S(t)=4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)\sqrt{4-t^2}}$$ である.

Case-III)     $${0 \leqq t\leqq 1}$$ のとき, 条件 (1), (2) より

$$
-\sqrt{4-t^2}\leqq x\leqq -\sqrt2+t\quad \mathrm{or} \quad
\sqrt2-t\leqq x\leqq \sqrt{4-t^2}
$$

条件 (3), (4) より

$$
-\sqrt{4-t^2}\leqq y\leqq -1\quad \mathrm{or} \quad
1\leqq y\leqq \sqrt{4-t^2}
$$

$$
\begin{array}{lcl}
R(t)&= & \displaystyle\left[-\sqrt{4-t^2},-\sqrt2+t\right]
\times\left[-\sqrt{4-t^2},-1\right] \\[3mm]
&&\cup\displaystyle\left[-\sqrt{4-t^2},-\sqrt2+t\right]
\times\left[1,\sqrt{4-t^2}\right]\\[3mm]
&&\cup\displaystyle\left[\sqrt2-t,\sqrt{4-t^2},\right]
\times\left[-\sqrt{4-t^2},-1\right]\\[3mm]
&&\cup\displaystyle\left[\sqrt2-t,\sqrt{4-t^2},\right]
\times\left[1,\sqrt{4-t^2}\right]\\[5mm]
S(t)&=&4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)
\left(\sqrt{4-t^2}-1\right)\\[1mm]
&=&4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)
\sqrt{4-t^2}-4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)\\[1mm]
&= & 4(4-t^2)+4(t-\sqrt2)\sqrt{4-t^2}
-4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)
\end{array}
$$

Case-III')     $${-1 \leqq t\leqq 0}$$ のときも

$$
S(t) = 4\left(\sqrt{4-t^2}+t-\sqrt2\right)
\left(\sqrt{4-t^2}-1\right)
$$

である.

求める体積 $${V}$$ は

$$
V = \int_{-2}^2S(t)dt=2\int_0^2S(t)dt =
60-\frac{16}3\sqrt2-4\sqrt3 -\left(\frac83+4\sqrt2\right)\pi
$$

（積分の計算は有料エリア）である.

独り言

この問題は難しい.     入学試験の現場では他の問題を先に解いて最後に余った時間をあてるのが得策だし, 極端なことを言えば捨てることになるだろう.

体積を求めるには座標軸と直交する平面で切った断面の面積を積分する方法しかないだろう.     どの座標軸を選べば断面積を求める計算が出来るかも決めることも明らかではなく, 私に関して言えば, 漠然と $${x}$$ 軸で考えるつもりで考察を開始したが得られた式を見て $${z}$$ 軸を使うことに方針を変更した.

登場する領域は長方形の集まりなので面積を求めるのは容易であり,
断面積の積分も難しい計算ではないのだが, 答えを見てもわかるように計算も煩雑であり正解に至るには注意深い計算を必要とする.

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