トレミーの定理

定理

トレミーの定理      四角形 $${\triangle\mathrm{ABCD}}$$ が円に内接しているとき

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+ \mathrm{DA}\cdot\mathrm{BA}
= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
$$

が成り立つ.

トレミーの定理は逆も成り立つのだが, それは, トレミーの不等式と呼ばれる幾何不等式で表すことができる.

トレミーの不等式     平面上の 4点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ について

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+ \mathrm{DA}\cdot\mathrm{BA}
\geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
$$

が成り立つ.     また, 等号が成立するための必要十分条件は $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ がこの順で円に内接する四角形を成すことである.

初等的証明

トレミーの定理

円に内接する四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ において対角線 $${\mathrm{BD}}$$ 上に点 $${\mathrm P}$$ を $${\angle\mathrm{DAP}=\angle\mathrm{CAB}}$$ となるようにとる（左図）.

$${\triangle\mathrm{ABC}}$$ と $${\triangle\mathrm{APD}}$$ において

$$
\begin{array}{lclcl}
\angle\mathrm{CAB}& = &\angle\mathrm{DAP} &\quad & \mathrm P の定義 \\
\angle\mathrm{BCA}& = &\angle\mathrm{PDA} &\quad & 円周角
\end{array}
$$

だから $${\triangle\mathrm{ABC}  \sim \triangle\mathrm{APD}}$$ である.     よって, $${\mathrm{BC}\!:\!\mathrm{PD}=\mathrm{CA}\!:\!\mathrm{DA}}$$ であり $${\mathrm{DA}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{DP}}$$ が成り立つ.

$${\triangle\mathrm{ACD}}$$ と $${\triangle\mathrm{ABP}}$$ について

$$
\angle\mathrm{DAC}=\angle\mathrm{DAB}-\angle\mathrm{CAB}
=\angle\mathrm{DAB}-\angle\mathrm{PAB}=\angle\mathrm{PAB}
$$

また, $${\triangle\mathrm{ABC} \sim \triangle\mathrm{APD}}$$ だから

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{AC}\!:\!\mathrm{AD}&=&\mathrm{AB}\!:\!\mathrm{AP}\\
\mathrm{AC}\cdot\mathrm{AP}&=&\mathrm{AD}\cdot\mathrm{AB}\\
\mathrm{AC}\!:\!\mathrm{AB}&=&\mathrm{AD}\!:\!\mathrm{AP}
\end{array}
$$

よって $${\triangle\mathrm{ACD} \sim \triangle\mathrm{ABP}}$$ であり, $${\mathrm{AC}\!:\!\mathrm{AB}=\mathrm{CD}:\mathrm{BP}}$$ であり $${\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BP}}$$ が成り立つ.

$${\mathrm{BD}=\mathrm{BP}+\mathrm{DP}}$$ に注意して

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}
=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BP}+\mathrm{AC}\cdot\mathrm{DP}
=\mathrm{AC}(\mathrm{BP}+\mathrm{DP})
=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
$$

トレミーの不等式

4点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ に対して点 $${\mathrm P}$$ を $${\angle\mathrm{DAP}=\angle\mathrm{CAB}}$$ かつ $${\angle\mathrm{PDA}=\angle\mathrm{BCA}}$$ を満たすようにとる（右図）.     点 $${\mathrm P}$$ の定義より $${\triangle\mathrm{ABC}  ∽ \triangle\mathrm{APD}}$$ である.     よって, $${\mathrm{BC}\!:\!\mathrm{PD}=\mathrm{CA}\!:\!\mathrm{DA}}$$ であり $${\mathrm{DA}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{DP}}$$ が成り立つ.     さらに, トレミーの定理の証明と同様にして $${\triangle\mathrm{ACD} \sim  \triangle\mathrm{ABP}}$$ を得るので $${\mathrm{DA}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{DP}}$$ が成り立つ.

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}
=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BP}+\mathrm{AC}\cdot\mathrm{DP}
=\mathrm{AC}(\mathrm{BP}+\mathrm{DP})
$$

$${\mathrm{BP}+\mathrm{DP}\geqq\mathrm{BD}}$$

等号が成立するとき点 $${\mathrm P}$$ は対角線 $${\mathrm{AC}}$$ 上にある.     点 $${\mathrm P}$$ の定義より $${\angle\mathrm{BDA}=\angle\mathrm{PDA}=\angle\mathrm{BCA}}$$ が成り立つ.     よって, 四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ は円に内接する.

三角法

トレミーの定理

四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ の外接円の半径を $${R}$$,

$$
\begin{array}{lcl}
\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{ADB}=\alpha
&\quad\quad &
\angle\mathrm{BDC}=\angle\mathrm{BAC}=\beta\\
\angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{CBD}=\gamma
&\quad\quad &
\angle\mathrm{DBA}=\angle\mathrm{DCA}=\delta
\end{array}
$$

とおく.     このとき $${\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi}$$ が成り立つ.
正弦定理より

$$
\begin{array}{lcl}
\mathrm{AB}=2R\sin\alpha
&\quad\quad &
\mathrm{BC}=2R\sin\beta\\
\mathrm{CD}=2R\sin\gamma
&\quad\quad &
\mathrm{DA}=2R\sin\delta\\
\mathrm{AC}=2R\sin\left(\alpha+\beta\right)
=2R\sin\left(\gamma+\delta\right)\\
\mathrm{BD}=2R\sin(\alpha+\delta)
=2R\sin(\beta+\gamma)
\end{array}
$$

である.
積和の公式と積和の公式を用いて

$$
\begin{array}{cl}
& \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}
,=, 4R^2\sin\alpha\sin\gamma+4R^2\sin\beta\sin\delta\\
= & 2R^2\left(\cos\left(\gamma-\alpha\right)
-\cos\left(\gamma+\alpha\right)
+\cos\left(\delta-\beta\right)
-\cos\left(\delta+\beta\right)
\right)\\
= & 2R^2\left(\cos\left(\gamma-\alpha\right)
+\cos\left(\delta-\beta\right)\right)
-2R^2\left(\cos\left(\gamma+\alpha\right)
+\cos\left(\delta+\beta\right)
\right)\\
= &\displaystyle 4R^2\cos\frac{(\gamma-\alpha)+(\delta-\beta)}2
\cos\frac{(\gamma-\alpha)-(\delta-\beta)}2\\[2mm]
&\displaystyle - 4R^2\cos\frac{(\gamma+\alpha)+(\delta+\beta)}2
\cos\frac{(\gamma+\alpha)-(\delta+\beta)}2\
\end{array}
$$

$${\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi}$$ より $${\gamma+\delta-\alpha-\beta=\pi-2(\alpha+\beta)}$$, $${\gamma+\beta-\alpha-\delta=\pi-2(\alpha+\delta)}$$ だから

$$
\begin{array}{cl}
& \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA} \\
= & \displaystyle 4R^2\cos\left(\frac{\pi}2-(\alpha+\beta)\right)
\cos\left(\frac{\pi}2-(\alpha+\delta)\right)\\
&\displaystyle -4R^2\cos\frac{\pi}2\cos\frac{(\gamma+\alpha)-(\delta+\beta)}2\\
=&\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
\end{array}
$$

を得る.

上では正弦定理を用いたトレミーの定理の証明を紹介したが,
余弦定理を用いて証明することも可能である. 有料エリアのではその方法の概略を紹介する.

ベクトルによる証明

トレミーの定理

$${\overrightarrow{\mathrm{AC}} =\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}}$$ より

$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathrm{AC}^2& = &
\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}
\,=\,
\left(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right)
\cdot
\left(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right)\\
&=& \overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}
-2\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}
+\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}\\
\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}
&= &
\displaystyle\frac12\left(
\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{AC}^2
\right)
\end{array}
$$

同様に $${\overrightarrow{\mathrm{AC}} =\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}}$$ より $${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DA}}\displaystyle\frac12\left(\mathrm{CD}^2+\mathrm{DA}^2- \mathrm{AC}^2 \right)}$$ が成り立つ.

$${\angle\mathrm{ABC}+\angle\mathrm{CDA}=\pi}$$ より

$$
\begin{array}{l}
\cos\angle\mathrm{ABC}+\cos\angle\mathrm{CDA}=0\\
\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}}{ \left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|, \left|\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|} +\frac{\overrightarrow{\mathrm{DC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DA}}}{
\left|\overrightarrow{\mathrm{DC}}\right|\,
\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|}=0\\[7mm]
\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|\,\left|\overrightarrow{\mathrm{DC}}\right|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|\, \left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|
\overrightarrow{\mathrm{DC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DA}}=0
\end{array}
$$

よって

$$
\frac12 \mathrm{DA}\cdot\mathrm{CD}
\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-\mathrm{AC}^2\right)
+\frac12 \mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}
\left(\mathrm{CD}^2+\mathrm{DA}^2-\mathrm{AC}^2\right)=0
$$

したがって

$$
\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}+\mathrm{CD}\cdot\mathrm{DA}\right)
\mathrm{AC}^2
=\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\right)
\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{DA}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CD}\right)
$$

同様にして

$$
\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{DA}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CD}\right)
\mathrm{BD}^2
=\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\right)
\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}+\mathrm{CD}\cdot\mathrm{DA}\right)
$$

これら 2式の辺々を乗じると

$$
\mathrm{AC}^2\mathrm{BD}^2
=\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\right)^2
$$

が得られるのでトレミーの定理が成り立つ.

複素数平面による証明

トレミーの不等式

複素数（平面）に関する基本的で重要な不等式を確認しておく.     この不等式の解説は例えば西山（[2]）を参考にするとよい.

定理     複素数 $${z_1, z_2}$$ について $${\displaystyle \left|z_1+z_2\right|\leqq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|}$$ が成り立つ.     等号成立の条件は $${\displaystyle \arg\frac{z_1}{z_2}=0}$$ である.

この不等式において $${z_1, z_2}$$ は共に $${0}$$ ではないことを暗黙の裡に仮定している.     いずれか一方が $${0}$$ のとき, この不等式で等号が成立することは明らかである.     等号成立の条件に関連して $${\displaystyle \arg\frac{z_1}{z_2}=0}$$ と $${\arg z_1=\arg z_2}$$ は同値であり

複素数平面上の 4点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ を表す複素数をそれぞれ $${a, b, c, d}$$ とする.     等式 $${(b-a)(d-c)+(c-b)(d-a)=(c-a)(d-b)}$$ より

$$
|(b-a)(d-c)|+|(c-b)(d-b)| \geqq |(c-a)(d-b)|
$$

を得る.

$${|(b-a)(d-c)|=|b-a|\,|d-c|}$$ また $${|b-a|=\mathrm{AB}}$$, $${|d-c|=\mathrm{CD}}$$ より $${|(b-a)(d-c)|=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}}$$
が成り立つ.     よって, トレミーの不等式

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}
+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}
\geqq \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
$$

が成り立つ.

$$
\begin{array}{cl}
& 4点 \mathrm{A, B, C, D} がこの順に円に内接する四角形をなす \\
\Longleftrightarrow & 頂点 \mathrm{B} の内角と頂点 \mathrm{D} の外角は等しい\\
\Longleftrightarrow &
\displaystyle \arg\frac{c-b}{a-b} = \arg\frac{d-c}{a-d}\\[3mm]
\Longleftrightarrow &
\displaystyle \arg\frac{(c-b)(a-d)}{(a-b)(d-c)} =
\arg\frac{(c-b)(d-a)}{(b-a)(d-c)} = 0\\[3mm]
\Longleftrightarrow &
|(b-a)(d-c)|+|(c-b)(d-b)| = |(c-a)(d-b)|
\end{array}
$$

したがって, 4点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ がこの順に円に内接する四角形をなすことと

$$
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}
+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}
= \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
$$

が成り立つことが同値である.

独り言

初等的証明によるトレミーの不等式の証明は 4 点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$
がこの順で凸四角形を成す場合を想定しているように思えるがそうでもない.     凸四角形でなくても対角線 $${\mathrm{AC}}$$ が四角形 $${\mathrm{ABCD}}$$ の内部に含まれていれば全く同じ証明で不等式を示すことができる.     $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ がこの順で四角形をなすことがない場合も含めて点 $${\mathrm P}$$ を同じように定めると $${\triangle\mathrm{ABC} \sim \triangle\mathrm{APD}}$$ と $${\triangle\mathrm{ACD} \sim \triangle\mathrm{ABP}}$$ を示すことができるのでトレミーの不等式の証明が成立する.

三角法を用いたトレミーの定理の証明では正弦定理を用いるものと余弦定理を用いるものを紹介した.     明らかに前者の方が計算は短いのだが, 積和の公式, 和積の公式を用いたテクニカルな計算になっている.     後者はそれに比べると地道な計算という印象だがこの記事では別の意味をもっている.     多くの場合, 余弦定理はベクトルの内積の計算に置き換えることができる.     実際, この記事のベクトルによるトレミーの定理の証明はこの置き換えで記述したものである.

複素数平面を用いた証明ではトレミーの不等式の証明が簡単でトレミーの定理（等号の成立条件）の方が難しいのは三角法やベクトルの場合と逆である.       複素数平面において角度に関する議論ためには偏角を用いることになるのだが, 偏角には向き（一般角の符号）があるのでそれに注意して議論しなければならない.     なお, 複素数平面を用いたトレミーの定理の証明に関しては桑田・前田([1]) や西山（[2]）等にある.

参考文献

[1] 桑田孝泰, 前原濶. 複素数と複素数平面幾何への応用, 数学のかんどころ, 第33 巻. 共立出版, 2017.
[2] 西山清二. 教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面. 河合塾シリーズ. 河合出版, 2018.