ベクトルの荷重重心

点・ベクトル・座標

この節ではベクトルを高等学校の教科書とは少し違う視点で概観する.

線分に向きをつけたものを有向線分と呼ぶ（有向線分という用語は一般的なものではない.）.   視覚的には線分の両端点の一方から他方へ向かう矢印であり, 出発点, 到達点となる線分の端点をそれぞれ有向線分の始点, 終点という.   有向線分は始点と終点の順序対とみなすことができる.   とくに, 始点と終点が同じ点のときも長さ $${0}$$ の有向線分として認めるものとする.   始点が $${\mathrm A}$$, 終点が $${\mathrm B}$$ の有向線分  $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と表す.   2つの有向線分が一致するとは始点と終点がそれぞれ等しいことである.

有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と正の実数 $${\lambda}$$ に対して有向線分 $${\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ を有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$ と定める.   ここで点 $${\mathrm C}$$ は線分 $${\mathrm{AB}}$$ 上または線分を $${\mathrm B}$$ の方に線分を延長した点で $${\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=1:\lambda}$$ を満たす点とする.   さらに, 負の実数 $${\lambda}$$ に対して有向線分 $${\lambda\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ を $${(-\lambda)\overrightarrow{\mathrm{BA}}}$$ と定義する.   有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と $${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$ に対して $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$
を $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$ と定める.

ベクトルとは平行移動することにより一致させることができる有向線分を等しいものとみなしたものである.   1つのベクトルは有向線分で代表され, 2つのベクトルが等しいとはそれぞれを代表する有向線分が平行移動で一致させることができることである.   有向線分の始点は平行移動により任意の点に移すことができるのでベクトルは任意の点を始点とする有向線分を代表として選ぶことができる.   これにより, ベクトルの和と実数倍が矛盾なく定義できる.   2つのベクトル $${\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}}$$ に対して $${\overrightarrow{u}}$$ と $${\overrightarrow{v}}$$ を代表するベクトルをそれぞれ $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$, $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$ とし, 点 $${\mathrm D}$$ を四角形 $${\mathrm{ABDC}}$$ が平行四辺形になるようにとる.   すると, 有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$ を点 $${\mathrm A}$$ を点 $${\mathrm B}$$ に移す平行移動で移すと $${\overrightarrow{\mathrm{BD}}}$$ に一致するのでベクトル $${\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}$$ は有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$ に代表されるベクトルである.

ベクトルの和は次の性質を満たす. 

•  $${\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}}$$     （交換律）

•  $${\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0} =\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}}$$      ただし, $${\overrightarrow{0}}$$ は始点と終点が同じ点である有向線分に代表されるベクトルであり, $${\overrightarrow{0}}$$ は零ベクトルと呼ばれる.     （単位元の存在）

• $${\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u}) =\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}}$$     （逆元の存在）

交換律を満たすことからベクトルの和が結合律 

$$
(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})
$$

を満たすことが示される.

ベクトルの実数倍は次の性質を満たす.

•  $${\lambda(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = \lambda\overrightarrow{u}+\lambda\overrightarrow{v}}$$

• $${(\lambda+\mu)\overrightarrow{u} = \lambda\overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}}$$

•  $${(\lambda\mu)\overrightarrow{u}=\lambda(\overrightarrow{u})}$$

•  $${1\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}}$$

原点 $${\mathrm O}$$ を固定すると原点を始点としてある点を終点とするベクトルはその点と1対1に対応する.     点 $${\mathrm P}$$ は有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{OP}}}$$ で代表されるベクトル $${\overrightarrow{u}}$$ を定め, 逆にベクトル $${\overrightarrow{u}}$$は有向線分 $${\mathrm{OP}}$$ が $${\overrightarrow{u}}$$ を代表するような点として $${\mathrm P}$$ を定める.     このとき, $${\overrightarrow{u}}$$ を点 $${\mathrm P}$$ の位置ベクトルという.

例えば, 座標平面では点 $${\mathrm P}$$ は座標 $${(x,y)}$$ で表される.      よって, $${\mathrm P}$$ の位置ベクトル $${\overrightarrow{u}}$$ も実数の順序対 $${(x,y)}$$ で表される.     座標平面では任意の平面ベクトル $${\overrightarrow{u}}$$ はそれを位置ベクトルとする点 $${\mathrm P}$$ の座標を用いて実数の順序対で表すことができる.     これをベクトルの成分表示という.     この表示は空間座標でも成分表示の実数の個数が3個になることを除いては同じである.

位置ベクトルは原点の取り方に依存する概念であり原点を変えると点とベクトルの対応は変わることを注意しておく.     同様に成分表示は座標のとり方に依存している.      原点のとり方はもちろん, 原点は同じでも座標のとり方を変えただけでも成分表示は変わることを指摘しておく.

加重重心

前節ではベクトル $${\overrightarrow{u}}$$ とそれを代表する有向線分 $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ を明確に区別したが, ここからは習慣に従い区別せずに $${\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と表記する.     さらに, 座標が決まっている場合には $${\overrightarrow{u}}$$ の成分表示が $${(x,y)}$$ であることを $${\overrightarrow{u}=(x,y)}$$ と表記する.

$${n}$$ 個のベクトル $${\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2},\dots, \overrightarrow{v_n}}$$ と $${n}$$ 個の実数 $${\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_n}$$ に対して, $${\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\neq0}$$ のとき, ベクトル

$$
\frac{1}{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}\left(
\lambda_1\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{v_2}+
\cdots+\lambda_n\overrightarrow{v_n}
\right)
$$

をベクトル $${\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2},\dots, \overrightarrow{v_n}}$$ の重み $${\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_n}$$ に関する加重平均という.

定義1      $${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ と $${n}$$ 個の実数 $${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に対して $${\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\neq0}$$ のとき,  $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の位置ベクトルの重み $${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に関する加重平均を位置ベクトルとする点は原点のとり方に依らず一定でありその点を重み $${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に関する $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の荷重重心という.

証明     原点が $${\mathrm{O}}$$ のときの荷重重心を $${\mathrm Q}$$, 原点が $${\mathrm{O}'}$$ のときの荷重重心を $${\mathrm Q'}$$ とおく.     このとき

$$
\begin{array}{ccl} 
\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &= &
\displaystyle \frac1{\Lambda}
\left(\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}
+\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}+\cdots+
\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}\right)\\[3mm]
\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{O'Q'}}&= &
\displaystyle \frac1{\Lambda}
\left(\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_1}
+\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_2}+\cdots+
\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_n}\right)
\end{array}
$$

ただし, $${\Lambda=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}$$ である.

$$
\begin{array}{cl}
& \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QQ'}}=
\overrightarrow{\mathrm{O'Q'}}+\overrightarrow{\mathrm{OO'}}
-\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \\[3mm]
=&\displaystyle
\frac1{\Lambda}
\left(\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_1}
+\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_2}+\cdots+
\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{O'P}_n}\right)
+\overrightarrow{\mathrm{OO'}}\\[3mm]
&\displaystyle -\frac1{\Lambda}
\left(\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}
+\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}+\cdots+
\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}\right)\\[3mm]
=&\displaystyle \frac1{\Lambda}\left(
\lambda_1
\left(\overrightarrow{\mathrm{O'P}_1}-\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}\right)
+\lambda_2
\left(\overrightarrow{\mathrm{O'P}_2}-\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}\right)
\right.\\[3mm]
&\left.+\cdots+
\lambda_n
\left(\overrightarrow{\mathrm{O'P}_1}-\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}\right)
\right)
+\overrightarrow{\mathrm{OO'}}\\[3mm]
=& \displaystyle\frac1{\Lambda}\left(
-\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OO'}}
-\lambda_2\overrightarrow{\mathrm{OO'}}-\cdots-
\lambda_n\overrightarrow{\mathrm{OO'}}
\right)+\overrightarrow{\mathrm{OO'}}\\[3mm]
=&\displaystyle -\frac{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}{\Lambda}
\overrightarrow{\mathrm{OO'}}+\overrightarrow{\mathrm{OO'}}
\end{array}
$$

$${\Lambda=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}$$ より $${\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{QQ'}}=\overrightarrow{0}}$$ を得る.   よって, 2点 $${\mathrm{Q}}$$, $${\mathrm{Q}'}$$ は同一の点である.     $${\Box}$$

例題2     異なる2点 $${\mathrm{A, B}}$$ について, $${\mathrm{A, B}}$$ の重み $${\alpha, \beta}$$ に関する荷重重心は内分または外分点になるので, 荷重重心は直線 $${\mathrm{AB}}$$ 上に位置する.     $${\alpha}$$ と $${\beta}$$ が同符号のとき線分 $${\mathrm{AB}}$$ を $${|\alpha|:|\beta|}$$ に内分する点であり, 異符号のとき $${|\alpha|:|\beta|}$$ に外分する点である.
したがって, 2点 $${\mathrm{A, B}}$$ の荷重重心は直線 $${\mathrm{AB}}$$ の点になりかつ, 直線 $${\mathrm{AB}}$$ のすべての点はある重みに関する$${\mathrm{A, B}}$$ の荷重重心である.

命題3      $${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の重み $${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に関する荷重重心を $${\mathrm Q}$$ とする.     $${1\leqq m<n}$$ を満たす自然数 $${m}$$ について

$$
\begin{array}{lcl}
\mu_1 &= & \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_m \\
\mu_2 &= & \lambda_{m+1}+\lambda_{m+2}+\cdots+\lambda_n
\end{array}
$$

とおく.     $${\mu_1\neq0}$$ かつ $${\mu_2\neq0}$$ のとき, $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_m}$$ の重み $${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m}$$ に関する荷重重心を $${\mathrm R_1}$$ とし, $${\mathrm{P}_{m+1}, \mathrm{P}_{m+2}, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の重み $${\lambda{m+1}, \lambda{m+2}, \dots, \lambda_n}$$ に関する荷重重心を $${\mathrm R_2}$$ とする.     このとき $${\mathrm Q}$$ は $${\mathrm{R}_1, \mathrm{R}_2}$$
の重み $${\mu_1, \mu_2}$$ に関する加重重心である.

証明     $${\Lambda=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}$$ とおくと
$${\Lambda=\mu_1+\mu_2}$$ である.     $${i=1,2, \dots, n}$$ について $${\mathrm{P}_i}$$ の位置ベクトルを $${\overrightarrow{p_i}}$$ とおき, $${\mathrm Q, \mathrm R_1, \mathrm R_2}$$ の位置ベクトルをそれぞれ $${\overrightarrow{q}, \overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}}$$ とおく.

$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \overrightarrow{q} & = &\displaystyle
\frac1{\Lambda}\left(
\lambda_1\overrightarrow{p_1}+\lambda_2\overrightarrow{p_2}+
\cdots + \lambda_n\overrightarrow{p_n}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{\mu_1}{\Lambda}
\left(\frac{\lambda_1}{\mu1}\overrightarrow{p_1}
+\frac{\lambda_2}{\mu_1}\overrightarrow{p_2}+
\cdots + \frac{\lambda_{m}}{\mu_1}\overrightarrow{p_m}\right)\\
&& \displaystyle + \frac{\mu_2}{\Lambda}
\left(\frac{\lambda_{m+1}}{\mu_2}\overrightarrow{p_{n+1}}
+\frac{\lambda_{m+2}}{\mu_{2}}\overrightarrow{p_{m+2}}+
\cdots + \frac{\lambda_{n}}{\mu_2}\overrightarrow{p_n}\right)\\[2mm]
&=&\displaystyle\frac{\mu_1}{\Lambda}\overrightarrow{r_1}
+\frac{\mu_2}{\Lambda}\overrightarrow{r_2}
= \displaystyle
\frac{\mu_1\overrightarrow{r_1}+\mu_2\overrightarrow{r_2}}{\mu_1+\mu_2}
\quad \Box
\end{array}
$$

重心座標

$${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ に対して, これらの点の荷重重心で得られる点全体の集合を $${\Pi(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n)}$$ で表す.     例えば, 異なる 2点 $${\mathrm{A, B}}$$ について $${\Pi(\mathrm{A,B})}$$ は直線 $${\mathrm{AB}}$$ である.     式で表すと

$$
\begin{array}{cl}
& \Pi(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n) \\
=
& \left\{\left.\frac{\displaystyle\lambda_0\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}
+\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}+
\cdots +\lambda_n\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}}{\displaystyle
\lambda_0+\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\right|
\lambda_0+\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq0\right\}
\end{array}
$$

となる.      ただし, $${\mathrm{O}}$$ は原点である.

いくつかの点が以下の条件を満たすときそれらの点は一般の位置にあるという.

・ 任意の1点
・ 異なる2点
・ 同一直線上にない3点, 言い換えれば 3角形を成す3点
・ 同一平面上にない4点, 言い換えれば 4面体を成す4点

定理4     $${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ が一般の位置にあるとき, $${\Pi(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n)}$$ の点は $${\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1}$$ を満たす実数の列 $${(\lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n)}$$ を用いて $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の重み $${\lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に関する加重重心として一意的に表される.

$${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ が一般の位置にあるとき, $${\Pi(\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n)}$$ の点 $${\mathrm Q}$$ に対して, $${\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1}$$ かつ $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ の重み $${\lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n}$$ に関する加重重心が点 $${\mathrm Q}$$ になるとき $${\left(\lambda_1,\lambda_2, \dots, \lambda_n\right)}$$ を $${\mathrm Q}$$ の\textbf{重心座標}という.     また $${\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \dots, \mathrm{P}_n}$$ を重心座標の参照点という（この用語は一般的なものではない.）.

2点 $${\mathrm{A, B}}$$ が一般の位置にあるとき, 重心座標 $${(\alpha, \beta)}$$ の点を $${\mathrm C}$$ とする.     点 $${\mathrm C}$$ は, $${\alpha<0}$$ ($${1<\beta}$$) のとき線分 $${\mathrm{AB}}$$ を点 $${\mathrm{A}}$$ の方に延長した点であり, $${0<\alpha<1}$$ ($${0<\beta<1}$$) のとき線分 $${\mathrm{AB}}$$ の内部の点, $${1<\alpha}$$ ($${0<\beta<1}$$) のとき線分 $${\mathrm{AB}}$$ を点
$${\mathrm{B}}$$ の方に延長した点である.

例題5    3点 $${\mathrm{A, B, C}}$$ が一般の位置にあるとき $${\Pi(\mathrm{A, B, C})}$$ は 3点 $${\mathrm{A, B, C}}$$ で定まる平面である.     さらに, 重心座標が $${(\alpha,\beta,\gamma)}$$ の点を $${\mathrm P}$$ とすると $${\mathrm P}$$ が3角形 $${\mathrm{ABC}}$$ の内部に含まれるための必要十分条件は $${\alpha>0}$$ かつ $${\beta>0}$$ かつ $${\gamma>0}$$ である.

解     荷重重心や重心座標は原点のとり方に依らないので原点を $${\mathrm C}$$ に固定して考えても一般性を失わない.

点 $${\mathrm P}$$ の重心座標を $${(\alpha,\beta,\gamma)}$$ とする.     $${\alpha+\beta\neq0}$$ のとき点 $${\mathrm{A,B}}$$ の重み $${\alpha,\beta}$$ に関する荷重重心を $${\mathrm Q}$$ とおくと, 命題3より $${\mathrm P}$$ は $${\mathrm {Q,C}}$$ の重み $${(\alpha+\beta),\gamma}$$ に関する荷重重心であり $${\mathrm P}$$ は $${\mathrm{A, B, C}}$$ で定まる平面上の点である.     さらに $${\alpha>0}$$ かつ $${\beta>0}$$ のとき $${\mathrm Q}$$ は線分 $${\mathrm{AB}}$$ の内部にあり, $${\gamma>0}$$ のとき $${\mathrm P}$$ は 3角形の内部にある.

つぎに $${\alpha+\beta=0}$$ のとき $${\beta=-\alpha}$$, $${\gamma=1}$$ だから

$$
\overrightarrow{\mathrm{CP}} =
\alpha\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{CB}}
+\gamma\overrightarrow{\mathrm{CC}}
=\alpha\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\alpha\overrightarrow{\mathrm{CB}}
+1\cdot\overrightarrow{\mathrm{CC}}=-\alpha\overrightarrow{\mathrm{AB}}
$$

$${\mathrm P}$$ は点 $${\mathrm C}$$ を通り直線 $${\mathrm{AB}}$$  に平行な直線上の点にあり, $${\mathrm{A,B,C}}$$ で定まる平面上の点である.

逆に, 点 $${\mathrm P}$$ が $${\mathrm{A,B,C}}$$ で定まる平面上にあるとする.     ベクトル $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と $${\overrightarrow{\mathrm{CP}}}$$ が平行のとき, $${\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$ と表せる.

$$
\overrightarrow{\mathrm{CP}} =
\lambda\overrightarrow{\mathrm{CB}} - \lambda\overrightarrow{\mathrm{CA}}
+1\overrightarrow{\mathrm{CC}}
$$

よって $${\mathrm P}$$ は重心座標 $${(-\lambda,\lambda,1)}$$ の点である.

直線 $${\mathrm{AB}}$$ と直線 $${\mathrm{CP}}$$ が交わるとき, 交点を $${\mathrm Q}$$ , 参照点 $${\mathrm{A,B}}$$ に関する $${\mathrm Q}$$ の重心座標を $${(\lambda_1,\lambda_2)}$$ とする.     さらに 参照点 $${\mathrm{Q,C}}$$ に関する $${\mathrm R}$$ の重心座標を $${(\mu_1,\mu_2)}$$ とする.

$$
\overrightarrow{\mathrm{CP}} =
\mu_1 \overrightarrow{\mathrm{CQ}} + \mu_2 \overrightarrow{\mathrm{CC}},
\quad
\overrightarrow{\mathrm{CQ}} = \lambda_1\overrightarrow{\mathrm{CA}}
+\lambda_2\overrightarrow{\mathrm{CB}}
$$

より

$$
\begin{array}{lcl}
\overrightarrow{\mathrm{CP}} & = &
\mu_1 \overrightarrow{\mathrm{CQ}} + \mu_2 \overrightarrow{\mathrm{CC}}\\
& = &\displaystyle
\mu_1 \left(\lambda_1\overrightarrow{\mathrm{CA}}
+\lambda_2\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)
+\mu_2 \overrightarrow{\mathrm{CC}}\\
&=&\displaystyle\lambda_1\mu_1 \overrightarrow{\mathrm{CA}}
+\lambda_2\mu_1\overrightarrow{\mathrm{CB}}
+\mu_2 \overrightarrow{\mathrm{CC}}
\end{array}
$$

また,

$$
\lambda_1+\lambda_2=1,\quad \mu_1+\mu_2=1
$$

より

$$
\lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_1+\mu_2
= \mu_1\left(\lambda_1+\lambda_2\right)+\mu_2
= \mu_1+\mu_2=1
$$

よって, $${\mathrm P}$$ は重心座標 $${(\lambda_1\mu_1,\lambda_2\mu_1,\mu_2)}$$ の点である.      $${\Box}$$

この例題と同様に 4点 $${\mathrm{A, B, C, D}}$$ が一般の位置にあるとき, $${\Pi(\mathrm{A, B, C, D})}$$ は（3次元）空間全体になり, 重心座標の成分全てが正であることと4面体 $${\mathrm{ABCD}}$$ の内部の点であることは同値である.

独り言

有向線分からベクトルを導く考え方は少し大袈裟に言うと, 同値類という現代数学の重要な思想に基づいている.     この思想の典型的な例は整数の合同式による取り扱いである.     余りが等しい整数を同じものとみなして扱うのが合同式の考え方であり, この同一視をしても四則演算が矛盾なく機能することが確認できる.     同値類は現代数学のあらゆる分野で用いられる基本的なツールであるが, 時として多くの学生を惑わす障害にもなっている.

空間内の3点で定まる平面や 3角形に関する問題を考えるときここで紹介した重心座標は有用である.     高校の数学の授業等で学ぶ概念ではないので用語を用いたり証明抜きでこれらの事実を用いるわけにはいかないのだが, これらの知識を用いて答えを導き出してから改めて考えれば高校生が学ぶ範囲の答案を記述できることが多いだけでなく, 必要な部分の証明をつけて答案を記述すれば良いのである.     おそらく, 出題者や教える立場にある人たちの中にはそういう思考をしている人も少なくないはずである.

ここで紹介した荷重重心と重心座標の概念は 4次元以上のユークリッド空間でも同様に定義できる.     ただし, 一般の位置を定義するには線形独立の概念が必要である.

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