東京工業大学2023年度前期入学試験[1]

問題

実数 $${\displaystyle\int_0^{2023}\frac2{x+e^x}dx}$$ の整数部分を求めよ

解答

$${0 \leqq x \leqq 2023}$$ のとき $${\displaystyle\frac2{x+e^x}\leqq \frac2{e^x}}$$ だから

$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle\int_0^{2023}\frac2{x+e^x}dx& \leqq &
\displaystyle \int_0^{2023}\frac2{e^x}dx
=2-\frac2{e^{2023}}<2\
\end{array}
$$

である.
$${\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+e^x}}$$ とおく

$$
\begin{array}{lcl}
f''(x)&=&\displaystyle\left(-\frac{2(1+e^x)}{(x+e^x)^2}\right)'
=-\frac{2e^x}{(x+e^x)^2}+\frac{4(1+e^x)^2}{(x+e^x)^3}\\[3mm]
&= &\displaystyle \frac{4(1+e^x)^2-2(x+e^x)e^x}{(x+e^x)^3}\\[3mm]
&= &\displaystyle \frac{4+2(e^x+4-x)e^x}{(x+e^x)^3}\\[3mm]
\end{array}
$$

より $${g(x)=e^x+4-x}$$ とおくと $${g(x) \geqq 0}$$ ならば $${f''(x)>0}$$ である.     $${0 \leqq x \leqq 4}$$ のとき $${g(x) \geqq 0}$$ は明らかである.
$${4 < x}$$ のとき $${g'(x)=e^x-1>0}$$ だから $${g(x) > g(4) \geqq 0}$$ が成り立つ.     したがって $${f(x)}$$ は $${0 \leqq x}$$ で下に凸である.

よって, 曲線 $${y=f(x)}$$ の点 $${\displaystyle\left(1,\frac2{1+e}\right)}$$ における接線を $${\ell}$$ とおくと $${\ell}$$ は

$$
y=-\frac{2}{1+e}(x-1)+\frac2{1+e}
=-\frac{2(x-2)}{1+e}
$$

と表され, 曲線 $${y=f(x)}$$ より下にある.

よって

$$
\displaystyle\int_0^{2023}\frac2{x+e^x}dx \geqq
\displaystyle\int_0^{2}\frac2{x+e^x}dx
\displaystyle\int_0^{2}{-\frac{2(x-2)}{1+e}}dx
= \frac{4}{1+e}
$$

が成り立つ.     さらに, $${e>2}$$ だから $${1<\displaystyle\frac{4}{1+e}}$$ を得る.     つまり,

$$
1 < \int_0^{2023}\frac2{x+e^x}dx < 2
$$

であり, 整数部分は 1 である.

独り言

この問題は定積分の値を評価する問題であり標準的な解答があるようなものではない.     定積分の値が 2 より小さいことは容易に示すことが出来ると思われるが, 1 より大きいことを示すのは簡単ではない.
証明には被積分関数より適度に小さい関数を用いることになると思われるが
それを見つけるのは容易でない.     ここでは被積分関数が下に凸であることに注目して $${\ell}$$ を見つけたが, 他にもいろいろ考えられる.

関数が下に凸のとき接線は関数の下にあることは重要な事実であるが,
高校生にはあまり知れらていないような印象である.     凸関数についての記事を書いたのでそちらを参考にしてほしい.

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