o1-previewに東大数学を解かせる

2024東大数学（理科）の第三問を、最近リリースされたOpenAIのo1-previewに解かせてみました。回答が正しいかは未確認です。

プロンプト

<instruction>
以下のproblemの(1)(2)(3)の解を、その解に至った手順も含めて詳細に示してください
</instruction>
<problem>
座標平面上を次の規則 (i), (ii) に従って 1 秒ごとに動く点 P を考える。
(i) 最初に、P は点 (2, 1) にいる。
(ii) ある時刻で P が点 (a, b) にいるとき、その 1 秒後には P は
• 確率 1/3 で x 軸に関して (a, b) と対称な点
• 確率 1/3 で y 軸に関して (a, b) と対称な点
• 確率 1/6 で直線 y = x に関して (a, b) と対称な点
• 確率 1/6 で直線 y = -x に関して (a, b) と対称な点
にいる。
以下の問いに答えよ。ただし、(1) については、結論のみを書けばよい。
(1) P がとりうる点の座標をすべて求めよ。
(2) n を正の整数とする。最初から n 秒後に P が点 (2, 1) にいる確率と、最初から n 秒後に P が点 (-2, -1) にいる確率は等しいことを示せ。
(3) n を正の整数とする。最初から n 秒後に P が点 (2, 1) にいる確率を求めよ。
</problem>

出力結果

(1) 解答

Pがとりうる点の座標は、以下の8点である。
$${(2,\ 1)}$$
$${(-2,\ 1)}$$
$${(2,\ -1)}$$
$${(-2,\ -1)}$$
$${(1,\ 2)}$$
$${(-1,\ 2)}$$
$${(1,\ -2)}$$
$${(-1,\ -2)}$$

(2) 解答

証明：
最初から $${n}$$ 秒後に P が点 $${(2,\ 1)}$$ にいる確率と、点 $${(-2,\ -1)}$$ にいる確率が等しいことを示すために、座標変換を利用します。

ステップ1：座標変換の定義
点 $${(x,\ y)}$$ を点 $${(-x,\ -y)}$$ に対応させる変換を考えます。これは原点対称移動であり、この変換を $${\phi}$$ とします。

$$
\phi (x,\ y) = (-x,\ -y)
$$

ステップ2：遷移の対称性の確認
与えられた P の移動規則において、ある時刻での位置 $${(a,\ b)}$$ から次の位置への遷移は以下の4つの対称性によって決まります。
x軸対称：$${(a,\ b) \rightarrow (a,\ -b)}$$
y軸対称：$${(a,\ b) \rightarrow (-a,\ b)}$$
直線 $${y = x}$$ に関する対称：$${(a,\ b) \rightarrow (b,\ a)}$$
直線 $${y = -x}$$ に関する対称：$${(a,\ b) \rightarrow (-b,\ -a)}$$
これらの対称変換と原点対称変換 $${\phi}$$ は可換であるため、以下が成り立ちます。

$$
\text{もし } P \text{ が } (a,\ b) \text{ から } (c,\ d) \text{ に移動するなら、}
P \text{ は } (-a,\ -b) \text{ から } (-c,\ -d) \text{ に移動する}
$$

ステップ3：初期位置の対応関係
初期位置である $${(2,\ 1)}$$ と $${(-2,\ -1)}$$ は変換 $${\phi}$$ により対応します。

ステップ4：確率の等価性の結論
上記の性質により、最初から $${n}$$ 秒後に P が点 $${(2,\ 1)}$$ にいる確率と、点 $${(-2,\ -1)}$$ にいる確率は等しくなります。

(3) 解答

はじめに：
P が最初から $${n}$$ 秒後に点 $${(2,\ 1)}$$ にいる確率を求めます。問題の性質上、直接的に一般式を求めるのは複雑ですが、遷移のパターンと確率を分析することで解決を試みます。

ステップ1：遷移の特徴の分析
P の遷移は対称性に基づいており、移動先は常に現在の位置の対称点です。P が取りうる全ての点は8点であり、これらの間で遷移します。

ステップ2：時刻ごとの確率の計算
例として、$${n = 2}$$ の場合を考えます。
初期状態： P は点 $${(2,\ 1)}$$ にいる。
1秒後の可能な位置と確率：
| 移動先 | 確率 |
|------------------|-----------|
| $${(2,\ -1)}$$ | $${1/3}$$ |
| $${(-2,\ 1)}$$ | $${1/3}$$ |
| $${(1,\ 2)}$$ | $${1/6}$$ |
| $${(-1,\ -2)}$$ | $${1/6}$$ |
2秒後に再び $${(2,\ 1)}$$ に戻る確率：
$${(2,\ -1)}$$ から $${(2,\ 1)}$$ への遷移確率：

$$
(1/3) \times (1/3) = 1/9
$$

$${(-2,\ 1)}$$ から $${(2,\ 1)}$$ への遷移確率：

$$
(1/3) \times (1/3) = 1/9
$$

$${(1,\ 2)}$$ から $${(2,\ 1)}$$ への遷移確率：

$$
(1/6) \times (1/6) = 1/36
$$

$${(-1,\ -2)}$$ から $${(2,\ 1)}$$ への遷移確率：

$$
(1/6) \times (1/6) = 1/36
$$

合計確率：

$$
1/9 + 1/9 + 1/36 + 1/36 = \frac{4 + 4 + 1 + 1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}
$$

したがって、$${n = 2}$$ のとき、P が点 $${(2,\ 1)}$$ にいる確率は $${5/18}$$ です。

ステップ3：一般的な考察
このパターンを一般の $${n}$$ に拡張するには、計算が複雑になるため、以下の点に着目します。
P は対称性のある8点間を移動するため、確率は周期的な振る舞いを示します。
P が初期位置に戻る可能性は、時間 $${n}$$ の偶奇に依存します。

結論：
一般の $${n}$$ に対して、P が点 $${(2,\ 1)}$$ にいる確率を正確に求めるには、遷移行列を用いて詳細なマルコフ連鎖の解析が必要となります。しかし、計算が非常に複雑であり、一般式を導出することは困難です。
したがって、具体的な $${n}$$ の値を代入して数値的に計算する方法が現実的です。