無限について考えると頭がクラクラします

ALOHA！　みゆひょんでーす♪

noteでもブログでも何でもそうなんですけど、テーマは絞ったほうが良いとよく言われます。なぜかというと専門性が大事だからです。

この人はこういうことの専門家なのね、じゃあ書いているものを読んであげてもいいわ――ってことですね。

でも、そんなのどうでもいいと思うようになりました。

書きたいことを書けばいいんじゃないの？

その代わり、量を出していれば、そのうち何か見つかるのでは？

「犬も歩けば棒に当たる」の精神ですよ。

いや、これって、本当は

犬がふらふら出歩くと、棒で殴られるような災難に遭ったりする。 じっとしていれば良いのに、余計な行動を起こすべきでない

https://ja.wiktionary.org/wiki/犬も歩けば棒に当たる

という意味なんですけどね。「雉も鳴かずば撃たれまい」みたいな。

でも行動が大事な時代です。棒で殴られるのも良い経験なのでは。知らんけど。

ということで、急に無限のお話がしたくなったので書きます。わたしと同じように、いつもどうでもいいようなこと（お金にならないこと）を考えている人と出会えるかもしれませんし。

どうでもいいようなことを延々と飲みながらお話しできるお友達、募集中です。幸せな時間と思いますので。

そもそも無限は縁起が悪いです。ニュートン、ライプニッツの微分法とかベルヌーイの無限級数とかも無限の話ですが、集合論という世界で無限についてはじめて突き詰めて考えた人はカントールだと言われています。

彼の無限の理論が当時の常識からはあまりにも常軌を逸しているので、当時の数学界の親玉だったクロネッカーに睨まれて、精神を病み、失意のうちに最後は健康を害してしんでしまいます。

と聞いていたので、若死にしたのだと思い込んでいたら、70歳まで生きていたんですけどね。

それはさておき、無限（集合）に関して、まず常識的でない例は、偶数（奇数でもいい）と自然数の数（数学用語で言うと濃度）は同じという話です。

これは中学か高校で習うんでしょうか。

数を比べるもっとも原始的な方法は1対1対応です。たとえば3個のリンゴと5個のみかんがあれば、1つずつペアにしてみればいい。そうするとみかんが2個余るので、数の概念がなくてもみかんのほうが多いとわかります。玉入れの勝ち負けを決める方法ですね。

1対1対応で比較すれば、自然数nに対して必ず1つの偶数2nが対応しますので、自然数と偶数の数は同じということになります。

常識的に考えれば、偶数は自然数の半分だから、すでにこの時点で「そんな与太話にはついていけないわ」と思う人が大量にいても、わたしは不思議と思いません。たとえば10でも100でも1兆でもいいのですが、有限の世界なら偶数はそのうちの半分です。しかし無限になったとたんに同じ数になる、なんてそんなに簡単に納得できる話でしょうか。

さて、それを乗り越えたとしても、すぐに次のハードルが待ち構えています。

実数というのをご存知と思います。数直線上に並んでいる数です。実数には有理数と無理数があります。有理数とは簡単にいうと、分母も分子も整数の分数です。この場合、整数は分母が1の分数と考えれば不都合はありません。

分数だけで数直線をそれこそ無限に分割できますから、有理数だけで数直線ができていると考えるのが自然です。

ところがそこに有理数の数より多い無理数という隙間があるというのが、1対1対応の理屈から導き出せる結論だったりします。

これは対角線論法という方法で証明できるのですが、面倒なので割愛します。そういうものだと思ってください。

そうなると、有理数だけだと数直線って、ほとんど透明に近い点線だったってこと（￣□￣；!!

その先はものすごい世界になっていまして、わたしはほとんど理解できません。何しろ実数よりさらに数の多い（濃度の濃い）無限集合がそれこそ無限にあるというのです。

まあ集合論の話はとてもおもしろくて、パラドックスが至るところに発生します。パラドックスを解消しようとして、あらたな制約条件を加えても、またパラドックスが発生します。最終的にはゲーデルの不完全性定理にむすびついていきます。

ただわたしがクラクラする話は、こういう高尚な数学の世界の話ではありません（理解をあきらめているので、クラクラしないんですｗ）。

たとえばπでも自然対数の底eでも何でもいいのですが、無理数を1つ考えてみます。

πは無限に続く小数です。無限小数には2種類あって、途中から同じ数列が続く循環小数（これは割り切れない有理数です）といつまでもランダムに数字が続く非循環小数があって、πは非循環小数になります。

πの値を小数点以下何桁まで計算するかは、スーパーコンピューターの性能競争に使われていて、2022年には100兆桁を達成しました。しかし1京桁であろうが、1垓桁であろうが、1無量大数桁であろうがπはまだまだ延々と続くのです。

そうなるとπには、何でもいいのですが1なら1が1兆個続いているところがあるのかもしれません。

少なくとも無いとは言えません。

ありそうにもないという感じはしますが、相手は無限です。あってもおかしくはありません。

そんなことを研究している数学者がいるのでしょうか。おそらく証明不可能（コンピューターの性能がおそろしく向上して、1が1兆個続いている列を発見すれば別ですが、そうなると次は1兆1個続いているところがあるかが問題になるだけです）と思われるので、誰も考えていないと思うのですが。

まあ永遠にわからないことだと思うのですけれど、わたしは宇宙のどこかににπの値がずーっと書かれている場所があって、その中に1兆個の1が並んでいる箇所があることを想像して、頭がクラクラするのです。