巨樹としての自然数

2023年9月2日 09:53

樹齢は数百年、地上から「130cm」の位置の幹周が「300cm以上」の生きている大木を「巨樹」と呼ぶらしい。

自然数の歴史は千年を超え、今なお「生きて」いる。そして、自然数の姿は多様で「樹木」の姿を見せることがある。そんな類似点から、自然数を巨樹と呼んでみたいのである。

自然数は直線状に「1,2,3,・・・」と並んでいる。あるいは螺旋状に並び広がっている、などのイメージがもたれている。

そして、具体的に自然数を並べてみると、いろいろな並べ方があることに気が付く。一行に並べるだけではなく、二行に並べると「奇数と偶数」に分かれる。
三行、四行に並べるとどうなるか？とわくわくする。
自然数の中の素数がどのように出現するのか、それらの素数の特性について分かっていることがあるからである。

例えば、四行に並べて一行目に出現する素数「5, 13,17,・・・」
は整数比の直角三角形の斜辺にあたる。
「３：４：⑤」、「５：１２：⑬」などである。

ここでは、自然数の姿を「樹木」のように
「主幹」、「幹」、「枝」と呼ぶ方法を示す。

その方法で用いるのが「コラッツ予想」である。
「偶数なら２で割り、奇数なら３倍して１を加える」という操作によって全ての自然数は「１に辿り着く」という予想である。

自然数が「樹木状」に並ぶ姿を探ってみたい。
まず、中央に並べたい自然数は「偶数の中の偶数」である「２」の累乗数である。すなわち、「・・・２＾３、２＾２、２、１」である。
例えば、「８」は偶数なので２で割ると「４」となり、「４」も偶数なので２で割ると「２」となり、「２」も偶数なので２で割ると「１」になる。
すなわち、「８→４→２→１」と「１」に向かって真っすぐ下降する。
これを、「１」から見ると、「・・・８←４←２←１」であり、「２＾ｎ」は限りなく高く伸びる基幹であり「主幹」になることが分かる。

その「主幹」から「枝」が出る。
例えば「５」は奇数なので、「３倍して１をたす」と偶数の「16」になる。それで「５」は「１６」から枝分かれさせる。
そして「５」の２倍の「10」は枝分かれした「５」の先に位置し、「10」の２倍の「20」は「10」よりなお枝先に位置し
新しい「幹」である「5→10→20→・・・」ができあがる。

　同様に、「３」は奇数なので「３倍して１をたす」と「10」になるので、「３」は「10」から枝分かれさせる。
そして、その枝には「６」、「12」、「24」、・・・という自然数が枝先に向かって伸びる。
ここまでのことを樹木状に示すと前図のようになる。

「16」からの枝分かれは、方程式「3x+1=16」の解として求めることができる。同様に「32」からは枝分かれしないことが分かる。→（「3x+1=32」には自然数解が存在しない。）

２の６乗である「64」からは枝分かれが存在する。「3x+1=64」の解は「21」であるから、「21―42―84―・・・」と続く枝である。

ところで、「７」はどこに位置しているのか。辿ってみると次の通りである。（左の矢印を逆に進んでみるとよい。）
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→・・・
自然数の樹を少し伸ばしてみると次のようになる。

「１４以下の自然数」の位置は上の樹木図に示されていて、それ
以上の自然数は飛び飛びに示されている。

この不完全な樹木図を見て、「すべての自然数はこの樹木図のどこかに位置している！」という主張に、あなたはどう応えるのだろう。多くの数学者は「たぶんそうだろう」と肯定している。
しかし、だれにも確信はない。証明できないからである。

これが１９３７年にロータ・コラッツ（一九一〇～一九九〇）が提示した「コラッツ予想」である。

ここで、樹木図を、縦と横だけに伸びる次図のように変形してみる。
　中央の縦に伸びるのは「2＾n」の数字で、そこから横に伸びているのが「枝」のように見える。