１から９までの数字で遊ぶ
１から９までの「9個の自然数」だけからでも
数学の世界を覗くことができる。
ここでは「数字遊び」を楽しんでみたい。
まず、助走として、「１，２，３，４」の4個の数字を考える。
４個の合計は「1+2+3+4=10」であり、「（1+4）＋ (2+3)」と和を２等分することができる。
このことをもとに、次のように4個の数字を並べることができる。
一行目と二行目の和が「５」で等しい。
ところが、一列目の和は「３」で、二列目の和は「７」となり異なる。「２」と「３」を入れ替えても列の和は等しくならない。
どの行の和も、どの列の和も等しい値になる時に「正方陣になる」という。
したがって、４個の集合｛1,2,3,4｝は「正方陣」にはならないことが分かる。
これは、４個の数字を｛3,4,5,6｝のような数字に変えても同じ結果になる。
＜正方陣＞
同様のことを９個の数字の集合｛1,2,3,・・,9｝で考える。
９個の数字の合計は「45」であるから次のように三等分することにする。
→（1+5+9）＋（2+6+7）＋（3+4+8）
そして、次のように「3×3」のマス目に並べる。すると、どの列の和も「15」である。
しかし、行の和は「15」ではない。それで、列の中で順番を変えてみることにする。
例えば、「２と６」を入れ替えて「３と８」を入れ替える。すると、一行目の和は「15」となる。
次に「２と７」、「４と３」を入れ替えると、どの行の和も「15」になり、次のような「正方陣」となることが分かる。
この正方陣をAとする。＞
こうしてできた「正方陣」は一例であり、他にもたくさん存在する。まずはあなたも一つ見つけてみて欲しい。
そして、さらに、正方陣の中には対角線上の和も「15」になるものがある。それは「魔方陣」と呼ばれている。
＜正方陣の接続＞
さて、一つの正方陣が見つかれば、一列目と二列目を入れ替えたものも正方陣になり、一列目と三列目を入れ替えたものも正方陣になる。（一行目と二行目を入れ替えても、・・・）
すると、次のような２種の正方陣ができる。
Aも含めると、３種の正方陣が示されたことになる。
そこで、これら３種の正方陣を接続すると、次の例のように、第一列目には「1,2,3,・・・,9」のすべてが並ぶことになる。
＜新しいパズル＞
ここから、新たなパズルが考え出される。
すなわち、どの列も、どの行も「1,2,3,・・,9」の数字が入り、各「３×３」のマスにも異なる９個の数字が入るようにせよ、（ただし、正方陣でなくてもよい）というパズルである。
（「河北新報」の日曜朝刊に毎週掲載され出題されている。）
＜3次の魔方陣の作り方＞
なお、３次の魔方陣の例を示しておく。
この魔方陣の作り方は前掲の式 → →
→ （1+5+9）＋（2+6+7）＋（3+4+8）
をもとにしていることが分かる。
（1+5+9）を第２行に配置し、（2+6+7）と（3+4+8）を各行に
配置している。
「５」を中央に置くことがミソで・・・
魔方陣の作り方はいろいろ知られている。
上の魔方陣は「４、５、６」と右斜め上に数字が並んでいる。スタートを中央最上に「１」を置き、右斜め上に進む。枠外に出た場合は反転して枠内に「２」を置く。「３」も同様である。
「３」の右斜め上には既に数字があるので「３」の真下に「４」となる。
「６」の右斜め上は「頂点」であり、数字と同じように真下に「７」となる。・・・
この方法では「３×３」ばかりではなく「奇数×奇数」の魔方陣を作ることができる。
＜９の剰余類を用いる＞
ところで、自然数を偶数と奇数の二種に分けるように、「９の剰余類」によって九種に分ける方法がある。
「1,2,3,・・・,9」はそのままであり、「10」は「９」で割ると「１」あまるので「10≡1 mod 9」と考えるのである。すると「11≡2」であり、「12≡3」であり、・・・となる。（実は、「９」の倍数は「９」で割ると余り「０」なので「９」ではなく「０」とするのである。）
９の剰余類は｛1,2,3,・・・.0≡9｝である。その「加法」の一覧は次のようになる。（赤は5+7=12≡3 mod9を表す）
この表を原本として、第二列と第四列を入れ替える。
同時に、第三列と第七列を入れ替え、
第六列と第八列を入れ替えるのである。
そうすると、ほぼ目的の表が出来上がる。
あとは「０」を「９」に変えるだけで完成に至る。（縦枠、横枠もとる）
⇓ ０→９
この表の原本では縦枠も横枠も「1,2,3,・・・,8,0」であった。しかし、これに限定するものではない。「0,1,2,・・・,7,8」でも
「2,3,4,・・・,8,0,1」でもかまわない。
また、作成例では「列の交換」を行ったが、「行の交換」も交えてよいのである。そうすることで、多様な完成形が出現する。試みて欲しい。
なお、このような「数字遊び」は、「整数論」や「群論」と呼ばれる数学の世界を覗く窓、入口になると信じている。
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