確率は面白いです 240124

演習をやっていると、面白い問題に出会います。

箱が n個 あって、それぞれの箱に赤玉と白玉1つずつの2つ入っています。箱には番号がついています。1番の箱から玉を1つ取り出して2番の箱に入れる、というように2番から3番の箱に、3番から4番の箱に、k番の箱から1つ取り出して k+1番 の箱に入れる (k=1, 2, 3, …, n-1)。この一連操作を行います。

n=5 のときを考えてみます。
最初に1番の箱から取り出した玉が赤である確率は $${\frac{1}{2}}$$ です。
一連の操作のあと、5番の箱から取り出した玉が赤である確率は $${\frac{1}{2}}$$ です。これは箱が何個あっても同じです。
1番の箱から取り出した玉の色と、一連の操作のあと5番の箱から取り出した玉の色が同じである確率は $${\frac{41}{81}}$$ です。

1番目が赤 かつ n番目が赤 である確率と、1番目が赤 かつ n番目が白 である確率は等しくありません。1番目が赤であるときの n番目が赤である条件付き確率は $${\frac{1}{2}}$$ ではない ということもできます。

そうですよね。1番が赤だと2番から赤が出る確率は$${\frac{1}{2}}$$ よりも上がります。実際 $${\frac{2}{3}}$$です。すると、1番が赤だったら3番から赤が出る確率は$${\frac{1}{2}}$$ より大きいでしょう。