5人でじゃんけんをする 240730

5人で1回じゃんけんをするとき、勝負がつかない（あいこになる）確率を求めてみましょう。

人に1番から5番まで番号をつけて区別します。手はG, C, P とします。手の出し方は 243 通りあります。

勝者の数に注目して、勝負のつく確率を計算してみましょう。

1人だけ勝つ確率を求めてみます。
1番がGで勝つ場合は1通りですので、15通りあります。確率は $${\dfrac{5}{81}}$$ です。

2人だけ勝つ確率を求めてみます。
1, 2 番がGで勝つ場合は1通りですので、30通りあります。確率は $${\dfrac{10}{81}}$$ です。

3人だけ勝つ確率を求めてみます。
1, 2, 3 番がGで勝つ場合は1通りですので、30通りあります。確率は $${\dfrac{10}{81}}$$ です。

4人だけ勝つ確率を求めてみます。
1, 2, 3, 4 番がGで勝つ場合は1通りですので、15通りあります。確率は $${\dfrac{5}{81}}$$ です。

したがって、勝者がいる確率は $${\dfrac{10}{27}}$$、勝負がつかない確率は $${\dfrac{17}{27}}$$ です。

他の方法を考えてみましょう。手の種類に注目すると、勝負がつくのは？と問うと、2種類と返ってきます。
5人がG, Cしか出していない場合の数は、30通りですので、5人が出す手が2種類の場合は、90通りあります。確率は$${\dfrac{10}{27}}$$ です。
この見方では、$${n}$$ 人でじゃんけんをして、勝負がつく確率もすぐ求めることができます。

他に方法はないですか？と問うと、手の種類が 3 の場合を直接計算してみよう、と返ってきました。
まず、5人をG3人、C1人、P1人 に分ける方法は 20通りですから、この場合の手の出し方は60 通りあります。
次に、5人をG2人、C2人、P1人に分ける方法は 30通りですから、この場合の手の出し方は 90通りあります。
したがって、出した手が3種類ある場合の数は 150 通りです。
勝負がつかないのは手の種類が １の場合もありますが、これは3通りであることが分かります。
よって、勝負がつかないのは 153通り、確率は$${\dfrac{17}{27}}$$ です。