2022日本数学オリンピック予選 第７問 ヒント

問題

$${∠BAC = 90°, AB = AC = 7}$$ である直角二等辺三角形 $${ABC}$$ がある. 辺 $${BC, CA, AB}$$ 上にそれぞれ点 $${D, E, F}$$ があり, $${∠EDF = 90°, DE = 5, DF = 3}$$ をみたしているとき, 線分 $${BD}$$の長さを求めよ. ただし, $${XY}$$ で線分 $${XY}$$ の長さを表すものとする.

公益財団法人　数学オリンピック財団

ヒント

辺 $${AC}$$ 上に$${∠GDC=∠FDB}$$ となる点 $${G}$$ をとり、補助線 $${GD}$$ を引く。

解説

図は自分で書いてください。点 $${E}$$ は 2 通りの取り方がありますが、頂点 $${C}$$ に近い方で書いてください。

辺 $${AC}$$ 上に$${∠GDC=∠FDB}$$ となる点 $${G}$$ をとる。
$${△GCD}$$ と $${△FBD}$$ において
　　$${∠GDC=∠FDB}$$
　　$${∠GCD=∠FBD=45°}$$
であるから　　$${△GCD∽△FBD}$$　・・・①
よって　　$${∠CGD=∠BFD}$$　・・・②
また、四角形 $${AEDF}$$ において
　　$${∠EDF+∠EGF=90°+90°=180°}$$
より、四角形 $${AEDF}$$ は円に内接する。
よって、内角とその対角の外角は等しので
　　$${∠AED=∠BFD}$$　・・・③
②、③ より、$${△DEG}$$ において
　　$${∠EGD=∠CGD=∠BFD=∠AED=∠GED}$$
したがって　　$${DG=DE=5}$$
① より
　　$${CD:DB=DG:DF=5:3}$$
ゆえに
　　$${BD= \frac{3}{3+5} ×BC= \frac{3}{8} ×7 \sqrt{2}= \frac{21 \sqrt{2} }{8}  }$$