めいちゃんねる　基礎基本問題集

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基礎基本問題集

サンプル分野ごとの問題と解説へのリンクがはられたPDFです。下図のように，問題と解説へのリンクがセットになっています。問題は「まずこれだけはできてほしい」というもっとも基本となるもので構成されています。授業の予習・復習，定期テスト対策にちょうどいいです。数学Ⅰ数学Ⅱ

【数Ⅲ】積分で体積を求める【細かくちぎって足し合わせる、積分の原理】

問題解説概要欄積分を使って体積を求めます。積分で体積を求められる理屈は区分求積法と同じです。区分求積法では求めたい面積を小さな短冊に分けて、それらの面積の合計で表しました。これの立体バージョンを行います。小さな立方体や円柱の集まりとして立体を理解することで、積分で体積を計算することができます。 0:00 区分求積法の復習 1:56 正方形の通過領域 4:32 回転体の体積 7:31 エンディング

【数Ⅲ】区分求積法【グラフの面積とはなにか。和が積分になる驚きの仕組み】

問題解説概要欄グラフの面積を小さな短冊の和として表します。これにより、Σを使って面積を求めることができます。すると、グラフの面積を挟んでΣと∫が繋がります。 Σと∫を入れ替える、区分求積法をマスターしよう。 0:00 区分求積法とは 4:18 簡単な例 5:02 n分の1を無理やり作る 6:16 積分区間に注意 8:43 エンディング

【数Ⅲ】三角関数の積分【半角の公式・積和の公式を使いこなせ】

問題解説概要欄三角関数の積分はいろんなパターンがあります。 sinの□乗の積分であっても、□が偶数か奇数かで計算方法が大きく異なってきます。 sin□xcos△xの積分のように、角度が異なる三角関数の積分でも技が必要です。これらの積分には数学Ⅱで学んだ三角関数の公式を使います。半角の公式や積和の公式などです。覚えるのは大変ですので、導出を毎回するようにしましょう。目次 0:00 cos2乗の積分 2:28 sin2乗の積分 3:11 sin3乗の積分 5:45

【数Ⅲ】三角関数での置換【知らないと絶対にできない置換積分】

問題解説概要欄x=sinθ、x＝tanθで置換する置換積分をしよう。これらの積分はやり方を知っていなければ思いつくことができません。式の形から置換するべきものを覚えてしまいましょう。積分区間の置き換えには少しだけ注意が必要です。もとの積分区間との整合性がとれるようにしましょう。最後に、ちょっと面白い問題を用意しています。ぜひ最後まで楽しんでくださいね。 0:00 x=sinθで置換 4:26 置換の補足 8:23 x=tanθで置換 9:47 3つの定積分

【数Ⅲ】置換積分【理屈と手順を分けて考える。】

問題解説概要欄合成関数の逆、置換積分をマスターしよう。置換積分は理屈も手順もちょっとむずかしい。だから、理屈は理屈、手順は手順とわけて理解します。どの部分をtとおくのか、慣れが必要です。まずは典型問題をこなして置換するものを見極める目を養いましょう。【目次】 0:00 置換積分と合成関数の微分 3:40 2x(x²+1)³を積分する 7:16 x/(x²+1)を積分する 8:47 置換積分の定積分 10:08 x√(2x+1)の積分1つめ 11:34 x√

【数Ⅲ】部分積分【公式不要！微分して被積分関数になるものを作り出せ】

問題解説概要欄部分積分を使いこなそう。部分積分の公式は一見わかりにくいものです。しかし、部分積分の本質は、実はただの積の微分なのです。積分とはそもそもなにか。微分して被積分関数を求める操作のことです。このことを理解すれば部分積分はとても簡単なパズルになります。本日を理解して部分積分をマスターしよう。 0:00 xcosの積分 4:13 (2x+1)sin3xの積分 5:37 xe^2xの積分 6:48 対数関数の積分 9:29 部分積分のまとめ 10

【数Ⅲ】積分の基本【新しく微分できるようになった関数を積分する】

問題解説概要欄数学Ⅲで新たに微分できる関数が増えました。ｘ^α、三角関数、指数関数、対数関数。だから、積分できる関数も増えます。まずは、微分の逆を考えるだけで積分できるものたちをマスターしましょう。合成関数の微分がたくさん出てきます。合成関数の微分を使いこなして、積分を楽々こなしていきましょう！ 0:00 x^αの積分 2:32 1/xの積分 5:37 三角関数の積分 8:03 指数関数の積分 8:21 1次式との合成関数の積分 9:55 部分分数分解をする

【数Ⅲ】不等式を微分を使って証明する【増減表を見て最小値を探す】

問題解説概要欄微分を使って不等式を証明します。増減表を使って最小値を求めることによって、不等式を証明する方法は数学Ⅱでも出てきました。グラフの単調性に注目して不等式を証明する方法があります。二階微分まで駆使してグラフの動きを捉えましょう。【目次】 0:00 増減表で不等式を示す 4:32 logx/xの極限 7:17 増減表を使わずに不等式を示す 9:26 2段階の証明 12:02 エンディング

【数Ⅲ】陰関数のグラフ【対称性を使って最低限の労力でグラフを描く】

問題解説概要欄ｙ＝の形になっていない関数、陰関数のグラフを描きます。陰関数は、いくつかのｙ＝の形、陽関数に分解できます。対称性に注意しながら、最小限の労力でグラフを描いていきましょう。数学Ⅲのグラフの描き方については、前回の動画でまずは基本を押さえておきましょう。前回の動画： • 【数Ⅲ】グラフを描く【チェックする... 【目次】 0:00 定義域の確認 2:31 yに付いて解く 5:36 対称性の確認 6:43 増減・凹凸・極限の確認 9:40 グラフを描

【数Ⅲ】グラフを描く【チェックするべきポイントを押さえる】

問題解説概要欄数学Ⅲで微分できる関数が増えました。なので、描けるグラフも増えます。グラフの形が全く想像できないときは、1階微分をして増減表を書くだけではグラフを描けません。グラフを描くためにチェックするべき6つのポイント。定義域対称性グラフの増減グラフの凹凸極限漸化式これらすべてを押さえて完璧なグラフを描きましょう。【目次】 0:00 チェックポイント 0:44 定義域の確認 1:30 対称性（偶関数・奇関数）の確認 3:51 増減・凹凸の確

【数Ⅲ】三角関数・指数・対数の微分公式【合成関数との合せ技】

問題解説概要欄三角関数・指数関数・対数関数の微分をします。特に、合成関数との合せ技が重要です。指数関数、対数関数では、特別な数、ネイピア数eが登場します。底がeのときは微分が簡単ですが、そうでないときは工夫が必要です。最後に対数微分を行います。これだけ微分ができれば、一通り計算で困ることはないはずです。【目次】 0:00 三角関数の微分 1:36 sin2xの微分 2:47 cos^2xの微分 3:48 e^xの微分 5:19 2^xの微分 7:26 l

【数Ⅲ】微分の公式積・商・合成関数の微分【中身と外側を区別しよう】

問題次の関数を微分せよ。 (1)　$${y=(x^2+2x+3)(3x+2)}$$ (2)　$${y=\frac{x+2}{x^2+3}}$$ (3)　$${y=\frac{1}{x^2+3x+1}}$$ (4)　$${y=(2x+3)^3}$$ (5)　$${y=\sqrt[3]{x}}$$ (6)　$${y=\sqrt{x^2+2}}$$ 解説概要欄数学Ⅲで出てくる微分の公式の基本、積の微分、商の微分、合成関数の微分を解説します。公式を使えるようになることをまずは第

【数Ⅱ】積分で面積が求まる理由【面積を表すことが先、積分が後。区分求積法で積分を使わず面積を計算しよう】

問題解説概要欄なぜ積分で面積が計算できるのか。実は面積を求める方法は紀元前からありました。しかし、積分は17世紀後半の数学です。面積は積分を使わなくても求められるのです。積分と面積。このふたつはどのようにして結びついたのでしょう。区分求積法から微積分学の基本定理までの流れを見ていきます。【目次】 0:00 区分求積法の考え方 3:55 面積を表す関数 6:13 積分で面積が計算できる理由 8:00 エンディング

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