麻雀における平均順位のぶれ

目次
１　はじめに
２　信頼区間について　～平均順位のぶれる範囲～
３　信頼区間の使い方　～簡易な実力の評価方法～
４　まとめ


１　はじめに

　今回のテーマは平均順位は試合数によってどの程度ぶれるのかについて。

　例えば、次の問題を考える。

（問１）
　平均順位２．５、順位率が総て等しい者が２０００試合打った。
（小問１）その人の現実的な平均順位は約７０％の確率でどの範囲に入っていると言えるか（所謂７０％信頼区間）。
（小問２）その人の現実的な平均順位は約９５％の確率でどの範囲に入っていると言えるか（所謂９５％信頼区間）。。
（小問３）平均順位２．４の者が２０００試合打った場合の９５％信頼区間はどうなるか。

　現実的に即せば次のような問題を考えるべきだろうか。

（問２）
　５０００試合打ったものが平均順位２．３５をマークした。この者の実力は最低でもどの程度あると考えるべきか。


２　信頼区間について　～平均順位のぶれる範囲～

　まずは、７０％信頼区間、９５％信頼区間について調べる。
　なお、具体例として平均順位２．５のケースについて書いた。
　しかし、平均順位２．３～２．７（鳳凰卓や特上卓で現実的に取りうる平均順位の範囲）であれば、信頼区間の幅は大差ない。
　平均順位２．４のケースは平均順位２．５の信頼区間の上限、下限それぞれから０．１を引けば良い。
　信頼区間の幅を見ればそのままその表の数値は使える。

　早速、表をご覧いただこう。
　打った試合を１００試合から１０００００試合とした場合における、順位分布が２５％、２５％、２５％、２５％のプレーヤーの平均順位のぶれ（７０％信頼区間、９５％信頼区間）は次のとおりである。

　ラベルの使い方を説明する。

　７０％信頼区間（厳密には６９．２％だが、７０％と書く）というのは「（平均値）ー（標準偏差）」から「（平均値）＋（標準偏差）」までの値を示したものである。
　例えば、２０００試合打った場合の７０％信頼区間が２．４７５～２．５２５となっている。
　これは、２０００試合打った場合に平均順位が２．４７５～２．５２５となる確率が７０％であるということである（問１、小問１の解答）。
　ちなみに、外側は上下あわせて３０％ということであるから、２．４７５より下がる確率、２．５２５より上の確率はそれぞれ約１５％である。
　約７分の１だから生じにくい現象ではあるが、たまたま起きた可能性は否定できない。

　次に、９５％信頼区間（厳密には９５．４％だが、９５％と書く）というのは「（平均値）ー２×（標準偏差）」から「（平均値）＋２×（標準偏差）」を示したものである。
　例えば、２０００試合打った場合の９５％信頼区間が２．４５～２．５５となっているが、１０００試合打った場合に平均順位が２．４５～２．５５となる確率が９５％であるということである（問１、小問２の解答）。
　ちなみに、外側は上下あわせて５％ということであるから、２．４５より下がる確率、２．５５より上の確率はそれぞれ約２．５％である。
　２．５％となれば（０ではないにせよ）稀であると考えてもよいだろう。

　７０％信頼区間の幅の半分というのはｎ試合打った場合の平均順位の標準偏差である。
　９５％信頼区間の幅の半分というのはｎ試合打った場合の平均順位の標準偏差の２倍である。


　なお、今回は平均順位２．５の信頼区間の話をした。
　しかし、信頼区間については平均順位２．３～２．７でもトップ率とラス率の和が６０％あるようなトップラス麻雀でも大差ない。
　順位分布を現実的な範囲で変動させることによって、１試合あたりの平均順位の分散は１．１～１．４５に変動する（すべての順位率が同じ場合の分散は１．２５）。
　しかし、信頼区間の幅は平均順位２．５のケースと比較して０．９～１．１の間に収まるので、平均順位２．５のケースと同様に考えてよい（もちろん、別途計算してもよいが、誤差は僅少である）。
　だから、平均順位２．４のプレーヤーが２０００試合打った時の９５％信頼区間は２．３５～２．４５である（問１、小問３、なお、厳密に計算したならばそっちを優先してよい）。


　このように信頼区間を求め、用いることで、プレーヤーの実力が既知の場合、そのプレーヤーの順位分布がどの範囲でどの程度入るかを調べることができる。
　これが信頼区間の価値である。


３　信頼区間の使い方　～簡易な実力の評価方法～

　信頼区間は実力が既知の場合に分かるものである。
　とすれば、実力が未知の場合には使えないのが原則である。

　しかし、実力が既知の場合の信頼区間を用いれば、次のような使い方をして、実力の範囲を推測することができる。
　そのロジックは次の通り。
（なお、片側検定を使うといったことは考えないものとする）

①　２０００試合打ったところの平均順位Ａの９５％信頼区間はＢ～Ｃである。
②　２０００試合打ったところ、平均順位Ａの人間が平均順位Ｂ以下をマークする確率は２．５％であり、稀である（可能性が低い）。
③　私は２０００試合打ったところの平均順位はＤをとったが、ＤはＢより低い。
④　私が平均順位Ａの実力であれば、平均順位Ｄをマークする確率は２．５％以下であり稀である。
⑤　よって、私の実力が平均順位Ａより下（弱い）である可能性は低い。
⑥　以上より、私が平均順位Ａより下（強い）である可能性はは高い。

　簡単に書くと、

　実力Ａの者が平均順位Ｄを取るのは稀である。
　しかるに、私は平均順位Ｄをマークした。
　よって、自分の実力はＡではない（Ａより上、下である）。

になる。
　
　具体例を用いて説明しよう。
　例えば、問２のケースを用いる。
　私が５０００試合で平均順位２．３５をマークしたとする。
　この場合、この人の実力をどう見積もれるかを見てみよう。

①　５０００試合打ったところの平均順位２．３９の９５％信頼区間は２．３５８～２．４２２である。
②　５０００試合打ったところ、平均順位２．３９の人間が平均順位２．３５８より下をマークする確率は２．５％であり稀である。
③　私は５０００試合打ったところの平均順位は２．３５をマークし、それは２．３５８より低い。
④　私が平均順位２．３９の実力であれば、平均順位２．３５をマークする確率は２．５％以下であり稀である。
⑤　よって、私が平均順位２．３９（より上）である確率は低い。
⑥　以上より、私が平均順位２．３９より低い確率は高い。

　こう使うことによって、自分の実力の範囲を決めることができる。
　今回は平均順位の下限（実力の上限）を決める際に用いたが、逆に用いれば、平均順位の上限（実力の下限）を決めることもできる。
　ぜひ、実力の推測に役に立てていただきたい。


　それでは。


４　まとめ

（信頼区間関係）
①　麻雀は運ゲーであるが、実力が一定の場合、多数試合打てば、平均順位は一定の範囲に収まる。例えば、平均順位２．５のプレーヤーが１０００試合打って平均順位２．８以上、平均順位２．２以下をマークする確率は１億分の１以下である。
②　平均順位２．５の者がｎ試合打った場合に７０％の確率でこの範囲に入る、その領域のことを７０％信頼区間と言う。
③　平均順位Ｒ、標準偏差をσとした場合の７０％信頼区間の求め方は「Ｒ－σ～Ｒ＋σ」である
④　平均順位２．５の者がｎ試合打った場合に９５％の確率でこの範囲に入る、その領域のことを９５％信頼区間と言う。
⑤　平均順位Ｒ、標準偏差をσとした場合の９５％信頼区間の求め方は「Ｒ－２σ～Ｒ＋２σ」である。
⑥　信頼区間の具体的な数値は上の表のとおり
⑦　平均順位が現実的な範囲で変わっても標準偏差は同じとみてよい。だから、上の表は平均順位が２．５出ないケースでも利用できる。
⑧　上の表はモデル値である（平均順位Ｒの者が１０００試合などを打った場合の順位分布を求めたものである）。

（以下、実力の判定関係）
⑨　９５％信頼区間から、実力が平均順位に換算してＲの人間が採りうる平均順位の範囲を定めることができる。
⑩　実力が平均順位に換算してＲの人間が採りうる平均順位の範囲がＡ～Ｂとした場合、Ａより下、Ｂより上の平均順位をマークすることはない（正式に説明すれば可能性が低い）
⑪　とすれば、仮に、具体的なプレーヤーが平均順位Ａ以下、Ｂ以上をマークした場合、その人の実力は平均順位に換算してＲではないことになる（厳密には可能性が高い）。
⑫　⑩と⑪を繰り返すことによって、現実のプレーヤーの実力の範囲を決定することができる。