教科書を精読してみた③三角関数

今回のテーマは

数学Ⅱ 三角関数

です。この範囲は好きだからこそ、「ただ解ける」だけな気がします。みなさんと細かいところまで見ていきたいですね。メンバーの皆さんも、通常の勤務になり、部活動や学校説明会などなどで中々全員というわけにはいきませんが、この素敵な機会を共有させていただいていただいていることに感謝です。

 自分発信はなかなかできませんが、疑問しかない分野なので、わからない担当として頑張っていきたいと思います。

①指数関数・対数関数

②図形と方程式

 東京支部のメンバー7名で進めていきます！！7名の日記としてご覧ください。

※使用する教科書は「数学Ⅱ Advanced(東京書籍)」です。

Day1 三角関数の導入

・三角比（測量から出てきた）、三角関係（関数の概念から出てきた）の違い。
・三角比の概念のときにでさえ、教科書に単位円出てくる！！
→三角関数に内包されているのではいいのでは？？
・ラジアンの定義がセンター試験で出てきた！定義を蔑ろにしていませんか？？と言う事に警鐘を鳴らしているものでは！！
・動径というのは、動く意味がついていて、英語だと半径の言葉と同じなので、とってもいい訳ですね！
・時計回りなのか、反時計回りなのかを丁寧に考えないといけない。角度に向きが出てくるのはお初！！
→サイクロイドのパラメータの作り方は、サイクロイドのときにしかできないようになっている！？！？向きがあるという事を意識して、しないといけない。他のときにも同様に指導できるようにしたいですよね。
・角度に向きを意識すると、面積にも正負が出てくる！？ガウスグリーンの定理をチェック！！
・鋭角、鈍角。劣角、優角は、弧の長さのときにも使う。
・一般角とは？？教科書の書き方だと、360°より大きい角度のように書いてあるが、一般角といったら、内包しているように表現しているが、いいんですよね…？？
・一般角は、α＝Θ＋360°×nにおいて、αは主値と言ったりもする。そもそも、一般角はどのくらい扱うべきなんでしょうか？
→複素数にはいってきたときにとても役に立つ！！のでここまで待たないといけない。周期できちんと戻ってくることがきちんとわかっていればいいのでは？
・範囲を表すに当たって、−π＜θ＜πだと範囲の表し方として、戻っているのに、かちかっているきがします。
・度数法↔︎弧度法の変換はどうやって導入しますか？なんでここで弧度法の導入になるのかな？
→弧度法は実数値としての表現になるので、グラフを書くときに横軸が実数値にするためだと思っていました…。でも、度数の数値自体も実数ではあるが、測定方法が基準が曖昧ということも関係するのかな？
・時計回りと角度の回り方の違いは、生徒は理解しにくそう。
→勝手に天体の回り方が数学的な回転になるので、その影からできるのが時計だから逆になるのかと思っていました。きちんと調べたい案件です!!

Day2 三角関数の相互関係

・弧度法ってなんで弧度法？長さなんだら、弧長法の方がいいのでは？？
・なんで度数法はやりずらいのか？？図る基準も曖昧では？
・半径を１にしていない図があるけど、単位円の方が今後良いのでは？
→半径は流動的がいいという方と、単位円がいいという方とそれぞれですよね。
・三角関数の相互関係では、直角のときに除外されるのにそこについては注意事項として書いていないが、指導の際にはきちんと言いたいですよね。
・問題のところで「第３象限」とあるが、範囲で書いた方がわかりやすいのでは？？
→一般格として考えているために、何週もしたときという事を考えているのかもしれませんが、指導の際には注意事項として述べるだけで、問題作成の際には注意した方が良きかもですね。
・教科書の問題で、3乗の変換は因数分解になっているが、和と積を用いて式変形できるように指導しますがみなさんどうですか？
→こちらの変形が多くて嬉しかったのですが、三角比のときも因数分解で書いてある意図はなんなんでしょうか？
・等式の証明は、生徒は書き間違えが多い。問いを出すときに、簡単な式にせよ。とかなら得意なのになんでできないのだろうか。注意して指導していきたいところ。

Day3 【特別企画② 質問部屋】

Q 三角比っぽい問題、三角関数っぽい問題って何！？

A sin、cos、tan使わないってことなのかな？
測量を意識するって事をいいたいのか。表向き図形的な問題なんだけど、座標を使うってことかな。もしくは、角度の向きを意識させるって事かな。うーん。
…私自身は、「ぽいってなにー！？！？」と1人で大混乱し、質問の意図が分からなくて、いろいろ聞いたんですが、「そうじゃないんだよ〜」と言われて続けたので、違いを見極めるためにどう質問すればいいのかそもそも分からずみなさんに意見を求めました。三角比、三角関数の発見の意図が違うからそこに意識すべきなのかもですね。何より皆さまもハテナだったのが安心？しました。答えていただき感謝です。

Q 高校３年生の演習の授業で、苦手意識が高い生徒に対してどのように指導していけばいいのだろうか？解説も配っているし、授業の意味あるの？？

A やり方として、
①宿題で問題を解かせてきて、解説
②50分で解かせる
③宿題でやってきてもらったものに、解説し、解けて欲しい問題については小テストなどする
④２題解説、２題予習
⑤利用している問題集の解説→類題を配布
さらに、解説するにあたり、
①最初どこに着目するべきなのか（どこに注目して解き始めるか）
②実践的にどこで撤退すべきか（ここまでは書くべき、ここからは差がつきについ）
③別解（配布している解答とは）を作っていく
④生徒の方針でできないか考察していく
⑤これが解けてる事により、どのように今後繋がっていくのか

類題を探すのは、我々の力になる！
授業は教員が1番楽しまなきゃ！！

Q 場合の分けを見極める指導はどうしてますか？

A 教科書の場合訳のある問題は、その場合訳は必然なのか、偶然なのかという事を説明できたらいいですよね。ダブルカウントでいいのでは？？基本的に連続性を持っているんだから、ぽっかり穴が開くより良きでは？境界値を外すかを議論すればいいのでは？変わり目のところで、代入した数値は連続になっているのか、連続になっていない場合、計算ミスなのか、必然的に違うのか、確認する必要があるのでは？

〜東京大学　過去問72年　に着いて盛り上がり中〜

Q 問題ってどう作るの？

A 定期考査と入試の問題は意図が違うので、意図に合わせた問題づくりをする。
定期考査…満遍なくだして、点をある程度取らせるための問題
入試問題…落とすための問題
どちらにしても、出さなければならない問題をおさえる必要がある。

Q 平面図形は、知っている生徒と知らない生徒の差が激しい気がしますが、どうやって指導しますか？

A 知らない前提でいいのでは？また、教科書に載っている垂心の証明で、外心に持っていく証明は、みんな思いつくのか！？となるので、その様な証明はできるだけ除外した方が良きでは？できる人は思いつくもしれないけど、実際は厳しいですよね。私は思いつきませんし、どもりました。証明も全部やった方がいいのかな、と思いつつ、書けないからやってもらった方がいいかもですね。教科書の事に縛られすぎなくてもいいのでは？？

Q 作図にどのくらい時間かけますか？

A 二次方程式を作図させる！オイラーの多面体定理の証明もやる。何が増えて、何がなくなって、何が変わらないのか、不変量についてやる！！！！

日々の指導の中で、疑問はどんどん出てきますよね。特に、この会が始まってからは、今まで見逃していたところにも疑問を持つ事ができるようになってきています。いっぱいいっぱいなところがありますが、少しでも生徒たちに還元できるように頑張りたいです。

Day4 三角関数の性質

・基準となるθを第2、第4章限に書いてみて、向きを意識書いていますか？となる。
・最終的に加法定理に持っていけばいいのでは？でも、図形的に生徒から認識してほしい！！ですよね。
・覚えるべき公式（高校数学の中で）は10個程度！？！？三角比性質の式まで覚えたら30個以上になるから、図形的な理解ができるところは理解した方が良さそうですよね。
・三角関数グラフはどう指導していますか？教科書の図形の書き方はなんかちょっとずるい気もしますが…。。
・グラフを書くときにどのくらい時間をかけるべきなのかな。平行移動なども、どの程度丁寧にやるべきなのかな。
・周期関数についてどの程度丁寧に触れますか？
→理系クラスであれば、一般的な周期関数の定義について、ある程度触れておくべきではないかな？入試問題で周期関数の問題が出たときに対応できるようにしてほしい。
→2006（5？）年東工大❶を要チェック！！
・偶関数、奇関数の説明したいけど、この範囲だとまだあんまり具体的な例があんまりないかな。x^nで意識し過ぎると、指数を見れば良いということになりかねないので要注意！！
→奇関数×奇関数、偶関数＋奇関数など色々確認したいですよね。
・三角関数のグラフを書くときに、基本形から和の形で考えてもいいのでは？？
→y=2sin+sin+sin、y=sin+cosなどをすれば合成のときにも同じように説明できるのでは？？
→y=sin(2x+π/2)の問題は周期の説明が中々難しいですよね…。なんで2でくくるの？という質問がよくきますけど、どの様に説明すればみんな理解できるのかな。
→2次関数の平方完成のときの様に、x^2の係数でくくってから式変形することで、平行移動も理解できるので同じ様にくくる意識を持たせてみてはどうでしょう！？
・グラフは、実際には定期考査にも出題し難いし、本当のありがたみは数学Ⅲででできますよね。
・三角関数を含む不等式は、角度がずれたものに関しても取り扱ったほうがいいかもですね。正接の不等式は、グラフで書いた方が理解できる人もいるみたいなので2つ説明したいですよね。

Day5  関数の最大最小、加法定理

・三角関数を含む関数の最大最小の問題で、文字を文字で置き換えるときに、範囲を変換しないといけませんよね。問題が簡単とか関係なく、グラフを書いて意識させたいですよね。…ちなみに、複２次式のときなどを今年度はグラフを書いて意識してもらいました！！多分、例年より大丈夫なはず。
・統合の記号の意識ではない、結ぶ式と、式変形のときの意識で使い分けたいですよね。
・最後、答えを出す際は、単位円派？グラフ派？？
・加法定理は皆さんどうやって証明させますか？
①教科書的な単位円での証明
②ベクトルを用いた証明
③単位円で平行四辺形を用いた証明
④初等幾何的な証明
・加法定理を用いた問題で出てきた三角関数の値で、角度の吟味をする癖をつけておきたいですよね。
・正接の加法定理で謎が！！！文字で割るのに、ゼロでないなど議論もなく進んでいる…。ということで、みなさん宿題です。
・2直線のなす角のところで、解法の引き出し増やしておこう。
①法線ベクトルを用いた解法
②正接を用いた解法→相加平均相乗平均に持ち込めるか！？！？
・正接の公式で、絶対値はつけない方がいいですよね？三角関数での違いとして、角度の向きを意識させる様にした方がいい。
・なす角を用いた問題として、東大の1982,2004,2015をチェック！！

Day6 加法定理の応用

・2倍角の公式は、
①角の変換
②次数下げ
の意味がありますよね。特に、cosのときはしっかりと覚えておいてほしいですよね。
・最初のαの範囲と２倍した際にどのような範囲になり、三角関数の符号のチェックをするように指導しないといけないですよね。
・問題の出題の仕方で、書いてある順番に解いていくべき！！凄い発見！！！確かにー！！
・３倍角の公式はどうやって覚えてます？覚えさせます？？なんかいい案が欲しいものですね！！
・半角の公式は、次数が変化していることに注目させたいですね。半角の公式のときに、角度を書き換える意味あるのかな？？書き換えると混乱するからそのままの方がいいんじゃないかな…。
・22.5°とかあんまり考えないのでは？？孤度法を導入したのに、度数法でやるのはなんでだろうか。わかりやすさ的には仕方ないのはわかるが、せっかく慣れてきたのに…！！となりますよね。
・半角の公式は、２乗が付いているのだから必ず正であることに気をつけて解きたいですよね。
・合成はどう教えてますか？サカモト的には逆算的が好きです。
・cosの合成はどこで使うのかな？昔センターで出題された（模試だっけ？）けど、原理がわかっていて欲しいっていうことなのかな。
・和積の公式は数学IIIで実用性を持ちますよね。なかなか一二年生で、実用的には難しい…？？強いていうならば、３倍角の公式を使わずに方程式を解けるかなというとろかな？？

ここ最近は、皆さん通常に学校や塾が再開されてなかなか集まれなくなってきておりますが…ちょうど今三角関数の授業をやっているので、すぐに実践できるの本当にありがたいですし、何より、一緒に学べる仲間がいるという事は本当にありがたい。細ーーーく、長ーーーく続けられるといいなと願っております！
という事で、次回は

方程式・式と証明

に入ります。