社会人のための学び直し数学【高校数学文字式編その１】

１．多項式の計算

　$${5a^2b+3ab-a^2b+2ab}$$ の計算を考えてみます。
この式の構成要素は $${5a^2b}$$，$${+3ab}$$，$${-a^2b}$$，$${+2ab}$$ で，これらをこの式の項といいます。この式の項は 2 種類あって，文字の部分が $${a^2b}$$ となっているものと $${ab}$$ となっているものです。１ つの式の中で，文字の部分が同じ項を同類項といい，「$${5a^2b+3ab−a^2b+2ab}$$ を計算せよ」とは「$${5a^2b+3ab−a^2b+2ab}$$ の同類項をまとめよ」ということと同じです。
同類項をまとめるときは，文字の前の数字を計算（加法，減法による）して，文字をそのまま計算済みの数字の後ろにおきます。したがって，

となります。同類項をまとめたなら計算は終了です。ところで，最初の等号では交換法則を使って，同類項が計算しやすいように項を並べ替えています。このように演算（計算）の順序を入れ替えてもその結果が変わらないとき，その演算には交換法則が成り立つといいます。

　【注】$${5a^2b}$$ は $${5×a×a×b}$$ のことで，これを一つのまとまり
　　（項）と考えることが大切です。
　　$${+3ab}$$，$${-a^2b}$$，$${+2ab}$$ も同様に数と文字のかけ算で，
　　それぞれ一つのまとまり（項）となっています。また，いくつかの項を
　　たし合わせた（1 個だけの場合もあります。）式を多項式といいます。

　次に $${A=4x^2-3x+5}$$，$${B=-3x^2+4}$$ であるとして
$${5A-3(A-B)}$$ を計算してみましょう。
いきなり $${A}$$ や $${B}$$ に与えられた式を当てはめる（代入する）のは賢明ではありません。$${5A-3(A-B)}$$ を見てみると，$${A}$$ が 2 か所にあるので，これらをまとめることが最初にすべきことになります。
このとき，式の中に (　　　) があるので，まず (　　　) を外すことを考えます。(　　　) を外すときは分配法則を使います。分配法則は
　　　　　　　　$${a(b+c)=(b+c)a=ab+ac}$$
とできることをいいます。すると $${-3(A-B)=-3A+3B}$$ となります。符号の変化に注意してください。
よって，$${5A-3(A-B)=5A-3A+3B=2A+3B}$$ です。
この $${A}$$，$${B}$$ に $${A=4x^2-3x+5}$$，$${B=-3x^2+4}$$ を当てはめる（代入する）と

となります。2 番目の等号で $${8x^2}$$ と $${-9x^2}$$，10 と 12 はそれぞれ同類項です。また，文字を含まない 10 や 12 を定数項といいます。

　【注】式を (　　　) でかこって代入していることに着目してください。

練習問題　$${A=2x^2-5x-6}$$，$${B=x^2-4x-5}$$ のとき
$${5A-9B-3(A-2B)}$$ を計算せよ。

【答】$${x^2+2x+3}$$
【解説】$${5A-9B-3(A-2B)=5A-9B-3A+6B=2A-3B}$$
　となるので，
　　$${2(2x^2-5x-6)-3(x^2-4x-5)}$$
　　=$${4x^2-10x-12-3x^2+12x+15}$$
　　=$${x^2+2x+3}$$
　となる。

２．多項式の乗法

　$${3a^2b×5ab^2}$$ の計算を考えてみましょう。
文字の乗法（かけ算）では次の指数法則を使います。

　指数法則　$${a^m×a^n=a^{m+n}}$$
　　　　　　$${(a^m)^n=a^{mn}}$$
　　　　　　$${(ab)^n=a^nb^n}$$

数字は数字で，文字は文字でかけ算をします。

この計算の最初の等号では，積の交換法則を使ってかけ算の順序を入れ替えています。乗法には交換法則が成り立つのです。（積は「乗法したもの」という意味です。）

　次に $${(x^2+5-4)(x^2-3)}$$ の計算を考えてみます。
　いくつか準備をします。
1 つの項で，文字をかけ合わせる個数をその項の次数といいます。例えば
$${2a^2b}$$ は $${a^2b}$$ という文字の部分で，$${a×a×b}$$ と文字を 3 つかけ合わせているので次数は 3 です。さて，多項式を考えるとき，その項を次数の順番に並び替える（加法には交換法則が成り立ちます）と見通しがよく，計算がやりやすくなります。例えば $${x^2+5-4x}$$ は項ごとに次数を考えると 2，0，1 となるので，これを次数の高い（大きい）順（降べきの順といいます）に並べ替えると $${x^2-4x+5}$$ です。

　【注】数の次数は 0 と考えます。

多項式の乗法では分配法則を使いますが $${(x^2-4x+5)(x^2-3)}$$ のままでは考えにくいので $${x^2-4x+5=A}$$ とおいてみましょう。すると
　　$${A(x^2-3)=Ax^2-3A}$$
となり，この後 $${A→x^2-4x+5}$$ と，もとに戻します。そして，
　　$${(x^2-4x+5)x^2-3(x^2-4x+5)}$$
　　=$${x^2×x^2-4x×x^2+5×x^2-3×x^2+3×4x-3×5}$$
となります。これは $${(x^2-4x+5)(x^2-3)}$$ で後ろの式の各項
$${x^2}$$，-3 を前の式の各項 $${x^2}$$，$${-4x}$$，+5 のそれぞれにかけた形になっています。そこで，この計算には次のように分配法則を使うと考えます。

また，前の式の各項 $${x^2}$$，$${-4x}$$，+5 を後ろの式の各項 $${x^2}$$，-3 のそれぞれにかける分配法則の使い方もあります。

　いくつかの多項式の積の形を計算して，1 つの多項式にすることを式を展開するといいます。

練習問題　次の式を展開せよ。
（1）$${3abc(a-2b+3c)}$$　　　　（2）$${(3a-2b)(a^2-4ab-b^2)}$$

（3）$${(3x-2+x^2)(2x^2-x-3)}$$

【答】（1）$${3a^2bc-6ab^2c+9abc^2}$$（2）$${3a^3-14a^2b+5ab^2+2b^3}$$
（3）$${2x^4+5x^3-10x^2-7x+6}$$
【解説】（3）前の多項式を降べきの順に並び換えた
　$${(x^2+3x-2)(2x^2-x-3)}$$を計算する。