社会人のための学び直し数学【高校数学文字式編その６】

８．因数分解②

　たすきがけを使う因数分解をもう少し練習してみます。
　$${3x^2-2(y-3)x-4y}$$ を因数分解しましょう。
$${x}$$ について 2 次 3 項式（$${x}$$ の次数について 2 次，1 次，0 次の多項式）になっているので，たすきがけで因数分解できるはずです。因数分解公式４ $${acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)}$$ において，たすきがけは下の図のとうりです。

図 8-1

ただし，ここでは $${x}$$ の 1 次の項の係数が $${-2(y-3)}$$，0 次の項が $${-4y}$$ と文字式になっているので，図 8-1 の ② と ③ が文字式になります。
　まず，$${ac=3}$$ ということから $${a=1,   c=3}$$ と決めます。
次に図 8-1 の ② の部分が $${-4y}$$ になるように $${b,   d}$$ を決めますが，先に図 8-1 の ③ が $${-2(y-3)}$$ すなわち $${-2y+6}$$ となることに注意します。たすきにかけた結果の $${bc}$$ または $${ad}$$ の一方が $${-2y}$$ でなければならないのです。さらに，$${c=3}$$ であることを考慮すれば，$${a=1}$$ とかけられる方が $${-2y}$$ でなければならないので $${d=-2y}$$ と決まります。$${b=2}$$ も同時に決まりますね。
まとめると

図 8-2

となります。
よって，因数分解の結果における 2 つの因数の $${x}$$ の係数をそれぞれ 1  と 3 にして

$$
3x^2-2(y-3)x-4y=(x+2)(3x-2y)
$$

と因数分解できます。

　少し複雑な因数分解について考えてみます。
　$${3x^2y-2xy^2-3x^2+8xy-4y^2-6x+4y}$$ を因数分解しましょう。
項が多くて因数分解の公式のいずれにも当てはまらないように見えますが……。
取っ掛かりは次数です。文字は $${x}$$ と $${y}$$ の 2 つだけですが，$${x}$$ についても $${y}$$ についても，2 次の式です。（いくつかの項にわたって文字があるときは，それぞれの項の中で最高次のものをその文字の次数とします。）こんなときは，どれか 1 つの文字について降べきの順（次数の高い順）に整理してみます。ここでは $${x}$$ について整理しましょう。
$${x}$$ について，次数の高い順に交換法則を使って並べ替えます。

$${x}$$ について同次の各項を整理します。

ここで $${y^2-4y+3=(y-1)(y-3)}$$ です。因数分解公式１の利用です。すると全体に，$${y-1}$$ という共通因数ができるので，これで式全体をくくります。

$${3x^2-2(y-3)x-4y}$$ は，前半の説明によると $${(x+2)(3x-2y)}$$ と因数分解できるのだから

$$
\begin{align*}
(y-1)\{3x^2-2(y-3)x-4y\} &=(y-1)(x+2)(3x-2y) \\
&=(x+2)(y-1)(3x-2y) \\
\end{align*}
$$

です。
最後の等号では，文字のアルファベット順を考慮して積の交換法則を使いました。
まとめると

となります。

　$${x^2y+y^2z-y^3-x^2z}$$ を因数分解しましょう。
　今度は，文字が $${x,   y,   z}$$ と 3 つあり，因数分解公式のいずれにも当てはまらないように思えます。
取っ掛かりは，やはり次数です。$${x}$$ については 2 次，$${y}$$ については 3 次，$${z}$$ について 1 次となっています。こんなときは，最も次数の低い文字について整理するのです。ここでは $${z}$$ について整理します。

$$
x^2y+y^2z-y^3-x^2z=(y^2-x^2)z+x^2y-y^3
$$

アルファベット順を考慮すると $${y^2-x^2=-(x^2-y^2)}$$
また $${x^2y-y^3=y(x^2-y^2)}$$ と共通因数 $${y}$$ でくくれます。よって，$${z}$$ について各項の共通因数が $${x^2-y^2}$$ となるので

$$
-(x^2-y^2)z+y(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(-z+y)
$$

因数分解公式３より $${x^2-y^2=(x+y)(x-y)}$$ なので

$$
(x^2-y^2)(-z+y)=(x+y)(x-y)(-z+y)=(x+y)(x-y)(y-z)
$$

最後の等号では，和の交換法則 $${-z+y=y-z}$$ を使いました。
まとめると

$$
\begin{align*}
x^2y+y^2z-y^3-x^2z &=(y^2-x^2)z+x^2y-y^3 \\
&=-(x^2-y^2)z+y(x^2-y^2) \\
&=(x^2-y^2)(-z+y) \\
&=(x+y)(x-y)(y-z)
\end{align*}
$$

となります。

練習問題　次の式を因数分解せよ。
（1）$${ab+a+b+1}$$　　　（2）$${a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}$$

【答】（1）$${(a+1)(b+1)}$$（2）$${-(a-b)(b-c)(c-a)}$$